高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 课时作业

第二章2.32.3.1直线与平面垂直的判定A级 基础巩固一、选择题1．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是( B )A．(0°，90°)  B．[0°，90°]C．(0°，90°]  D．[0°，180°][解析] 由线面角的定义知B正确．2．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是( B )A．1  B．2  C．3  D．6[解析] 仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直．3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为( D )A．1  B．2  C．3  D．4[解析] ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BC，PA⊥CD.⇒BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB由⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PD.∴△PAB，△PAD，△PBC，△PCD都是直角三角形．4．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于( B )A．40°  B．50°  C．90°  D．150°[解析] 根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.5．给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直．其中正确的个数是( C )A．0  B．1  C．2  D．3 [解析] ①中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直；②中直线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；③根据射影定义知正确．故选C．6.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( D )A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°[解析] 设AB长为1，由PA＝2AB得PA＝2，又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，所以△PAD为直角三角形．∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，∴PD与平面ABC所成的角为45°，故选D．二、填空题7．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的__外心__．(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)[解析] P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．8．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为__45°__.[解析] 如图，设C在平面α内的射影为O点，连结AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．设AC＝BC＝1，则AB＝，∴CM＝，CO＝. ∴sinCMO＝＝，∴∠CMO＝45°.三、解答题9.如图，在三棱锥A－BCD中，CA＝CB，DA＝DB.作BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H.求证：AH⊥平面BCD.[解析] 取AB的中点F，连接CF、DF.∵CA＝CB，DA＝DB，∴CF⊥AB，DF⊥AB.∵CF∩DF＝F，∴AB⊥平面CDF.∵CD⊂平面CDF，∴AB⊥CD.又CD⊥BE，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE.∵AH⊂平面ABE，∴CD⊥AH.∵AH⊥BE，BE∩CD＝E，∴AH⊥平面BCD.10.如图在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝13，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，M为AC的中点.(1)求证：PM⊥平面ABC；(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值．[解析] (1)∵PA＝PC，M为AC的中点，∴PM⊥AC.①又∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AM＝MC＝MB＝AC＝5.在△PMB中，PB＝13，MB＝5. PM＝＝＝12.∴PB2＝MB2＋PM2，∴PM⊥MB.②由①②可知PM⊥平面ABC.(2)解：∵PM⊥平面ABC，∴MB为BP在平面ABC内的射影，∴∠PBM为BP与底面ABC所成的角．在Rt△PMB中tan∠PBM＝＝.B级 素养提升一、选择题1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则下列直线中一定与CE垂直的是( B )A．ACB．BDC．A1D1D．A1A[解析] ∵BD⊥AC，BD⊥A1A，AC∩A1A＝A，∴BD⊥平面ACC1A1.又∵CE⊂平面ACC1A1，∴BD⊥CE.2．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( C )A．垂直且相交  B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交  D．不垂直也不相交[解析] 取BD中点O，连接AO、CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选C．3．如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC 于H，则垂足H是△ABC的( C )A．外心  B．内心  C．垂心  D．重心[解析] ∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB.又∵AB⊂平面PAB，∴AB⊥PC.又∵AB⊥PH，PH∩PC＝P，∴AB⊥平面PCH.又∵CH⊂平面PCH，∴AB⊥CH.同理BC⊥AH，AC⊥BH.∴H为△ABC的垂心．4．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( D )A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°[解析] ∵AD∥BC，∴∠BCB1为异面直线AD与CB1所成的角．又△B1BC为等腰直角三角形，故∠BCB1＝45°.即异面直线AD与CB1所成的角为45°.二、填空题5．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是__菱形__.[解析] 由于PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又PC⊥BD，且PC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PC∩PA＝P，所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形．6．如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是__[2，＋∞)__. [解析] 因为PA⊥平面AC，QD⊂平面AC，∴PA⊥QD.又∵PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，∴QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD.①当0