直线平面垂直的判定及性质

§8.5直线、平面垂直的判定及性质 基础自测1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A2.若P是平面α外一点,则下列命题正确的是()A.过P只能作一条直线与平面α相交B.过P可作无数条直线与平面α垂直C.过P只能作一条直线与平面α平行D.过P可作无数条直线与平面α平行D 3.（2009·广东理，5）给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④D 4.（2008·湖南文，5）已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则()A.n⊥βB.n∥β，或nβC.n⊥αD.n∥α,或nαD5.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面.①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β；③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ.正确的命题是()A.①③B.②③C.①④D.②④C 题型一直线与平面垂直的判定与性质如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M，N分别是AB，PC的中点.(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD.(1)因M为AB中点,只要证△ANB为等腰三角形,则利用等腰三角形的性质可得MN⊥AB.(2)已知MN⊥CD，只需再证MN⊥PC,易看出△PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MN⊥PC.题型分类深度剖析 证明（1）连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴AN=BN，∴△ABN为等腰三角形，又M为底边AB的中点，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD. (2)连接PM、CM,∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，∴PA=BC.又∵M为AB的中点，∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来. 知能迁移1Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC，D为斜边AC中点.（1）求证：SD⊥面ABC；（2）若AB=BC，求证：BD⊥面SAC.证明（1）如图所示，取AB中点E，连结SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DE∥BC，且DE⊥AB,∵SA=SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.∵SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE=E，∴AB⊥面SDE.而SD面SDE，∴AB⊥SD. 在△SAC中，∵SA=SC，D为AC中点，∴SD⊥AC.∵SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,∴SD⊥面ABC.（2）若AB=BC，则BD⊥AC，由（1）可知，SD⊥面ABC，而BD面ABC，∴SD⊥BD，∵SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,∴BD⊥面SAC. 题型二面面垂直的判定与性质如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8，AB=2DC=4.(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积.(1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD.(2)四棱锥底面为一梯形,高为P到面ABCD的距离. (1)证明在△ABD中,∵AD=4,BD=8,AB=4,∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，BD面ABCD，∴BD⊥面PAD.又BD面BDM，∴面MBD⊥面PAD.(2)解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高.又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO= 在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC，∴四边形ABCD为梯形.在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为此即为梯形的高.当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线.把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离等. 知能迁移2在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M,若AM=MA1,求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.证明(1)∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥平面BB1C1C，面ABC∩面BB1C1C=BC，∴AD⊥侧面BB1C1C.∵CC1面BB1C1C，∴AD⊥CC1. （2）延长B1A1与BM交于N，连结C1N.∵AM=MA1，∴NA1=A1B1.∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1.∴C1N⊥C1B1.∵截面NB1C1⊥侧面BB1C1C，面NB1C1∩面BB1C1C=C1B1，∴C1N⊥侧面BB1C1C.∵C1N面C1NB，∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C.即截面MBC1⊥侧面BB1C1C. 题型三线面角的求法（12分）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.（1）求证：PB⊥DM；（2）求BD与平面ADMN所成的角.（1）易证PB⊥平面ADMN.（2）构造直线和平面所成的角，解三角形.（1）证明∵N是PB的中点，PA=AB，∴AN⊥PB.∵∠BAD=90°，∴AD⊥AB.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD. ∵PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB.4分又∵AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN.∵平面ADMN，∴PB⊥DM.6分（2）解连接DN，∵PB⊥平面ADMN，∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角，8分在Rt△BDN中，10分∴∠BDN=30°,即BD与平面ADMN所成的角为30°.12分 求直线和平面所成的角，关键是利用定义作出直线和平面所成的角.必要时，可利用平行线与同一平面所成角相等，平移直线位置，以方便寻找直线在该平面内的射影.知能迁移3如图所示，四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点.求：（1）BC与平面SAB所成的角；（2）SC与平面ABC所成的角的正切值. 解（1）∵SC⊥SB，SC⊥SA，SB∩SA=S，∴SC⊥平面SAB，∴BC在平面SAB上的射影为SB.∴∠SBC为BC与平面SAB所成的角.又∠SBC=60°,故BC与平面SAB所成的角为60°.（2）连结MC，在Rt△ASB中，∠SBA=45°，∴△ASB为等腰直角三角形，∴SM⊥AB，由（1）知AB⊥SC，AB∩SM=M，∴AB⊥平面SMC， ∵平面ABC∴平面SMC⊥平面ABC.过点S作SO⊥MC于点O，∴SO⊥平面ABC.∴∠SCM为SC与平面ABC所成的角.由（1）知SC⊥平面SAB，又平面SAB，∴SC⊥SM，∴△SMC为直角三角形.设SB=a，即SC与平面ABC所成的角的正切值为. 题型四二面角的求法如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，PA=PB=PC=，AC=2，AB=，BC=.（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）求二面角P—AB—C的正切值大小.（1）已知三角形三边长，可考虑利用勾股定理的逆定理证明垂直.（2）关键是找出二面角的平面角，由AP=PB，可考虑取AB的中点E. （1）证明连结BD，∵D是AC的中点，PA=PC=，∴PD⊥AC.∵AC=，AB=，BC=，∴AB2+BC2=AC2.∴∠ABC=90°，即AB⊥BC.∵PD2=PA2-AD2=3，PB=，∴PD2+BD2=PB2.∴PD⊥BD.∵AC∩BD=D，∴PD⊥平面ABC. （2）解取AB的中点E，连结DE、PE，由E为AB的中点知DE∥BC，∵AB⊥BC，∴AB⊥DE.∵PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB.又AB⊥DE，DE∩PD=D，∴AB⊥平面PDE，∴PE⊥AB.∴∠PED是二面角P—AB—C的平面角.在△PED中，∠PDE=90°,∴二面角P—AB—C的正切值为. 找二面角的平面角常用的方法有:(1)定义法：作棱的垂面，得平面角.(2)利用等腰三角形、等边三角形的性质,取中线.知能迁移4如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是直角梯形，PA⊥平面ABCD，且AD∥BC，AD⊥DC,△ADC和△ABC均为等腰直角三角形,设PA=AD=DC=a，点E为侧棱PB上一点，且BE=2EP.（1）求证：平面PCD⊥平面PAD；（2）求证：直线PD∥平面EAC；（3）求二面角B—AC—E的余弦值. （1）证明∵PA⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴DC⊥PA.又∵AD⊥DC，且PA与AD是平面PAD内两相交直线，∴DC⊥平面PAD.又∵DC平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD.（2）证明连结BD，设BD与AC相交于点F，连结EF，在等腰直角△ADC中，∵AD⊥DC， 又∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC=又∵△ABC为等腰直角三角形，且底面ABCD是直角梯形，（若∠B为直角，则与底面ABCD是直角梯形相矛盾）.由AD=DC=a，易知AB=AC=a，BC=2a，∵BC∥AD且BC=2AD，∴BF=2FD.又∵BE=2EP，∴PD∥EF.又∵EF平面EAC，PD平面EAC，∴直线PD∥平面EAC. （3）解过点E作EH∥PA交AB于H点，则EH⊥平面ABCD，又∵AB⊥AC，∴EA⊥AC.∴∠EAH为二面角B—AC—E的平面角.∵BE=2EP，即二面角B—AC—E的余弦值为. 方法与技巧1.证明线面垂直的方法（1）线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直a⊥α；（3）判定定理2：a∥b，a⊥αb⊥α；（4）面面平行的性质：α∥β，a⊥αa⊥β；（5）面面垂直的性质：α⊥β，α∩β=l，aα，a⊥la⊥β.n思想方法感悟提高 2.证明线线垂直的方法（1）定义：两条直线所成的角为90°;（2）平面几何中证明线线垂直的方法；（3）线面垂直的性质：a⊥α，bαa⊥b；（4）线面垂直的性质：a⊥α，b∥αa⊥b.3.证明面面垂直的方法（1）利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；（2）判定定理：aα，a⊥βα⊥β.4.向量法证明线面平行与垂直也是一种重要的方法. 失误与防范1.垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键. 2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可. 一、选择题1.若l为一条直线,α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ,β⊥γα⊥β;②α⊥γ,β∥γα⊥β;③l∥α,l⊥βα⊥β.其中正确的命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析对于①，α与β可能平行，故错.②③正确，故选C.C定时检测 2.设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是()A.若a⊥b,a⊥α,则b∥αB.若a∥α,α⊥β,则a⊥βC.若a⊥β,α⊥β,则a∥αD.若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β解析A中，b可能在α内；B中，a可能在β内,也可能与β平行或相交（不垂直）；C中，a可能在α内；D中，a⊥b，a⊥α，则bα或b∥α,又b⊥β,∴α⊥β.D 3.（2009·北京理，4）若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为()A.B.1C.D.解析如图所示，直线AB1与底面ABCD所成的角为∠B1AB，而A1C1到底面ABCD的距离为AA1，在Rt△ABB1中，B1B=AB·tan60°=.所以AA1=BB1=.D 4.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，下面有三个命题：①α∥βl⊥m;②α⊥βl∥m;③l∥mα⊥β;则真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析如图所示，设面AB1为α，面A1C1为β，A1D1⊥α，A1C1β，而A1D1与A1C1相交，故②错.C 5.下面四个命题：①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”.其中正确命题的序号是()A.①②B.②③C.②④D.③④ 解析a∥b推不出a平行于b所在的平面，反之也不成立.∴①不正确.由线面垂直的定义知②正确.a、b不相交时，a、b可能平行，此时a、b共面.③不正确.当α∥β时，α内一定有三个不共线的点到平面β的距离相等.反之，设A、B、C是α内三个不共线的点，当β过△ABC的中位线时，A、B、C三点到β的距离相等，但此时α、β相交，④正确.答案C 6.（2009·浙江理，5）在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A.30°B.45°C.60°D.90°解析取BC中点E，连结AE，则AE⊥平面BCC1B1，故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角.设各棱长为a，则∴∠ADE=60°.C 二、填空题7.（2008·全国Ⅰ文，16）已知菱形ABCD中,AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起,使二面角A-BD-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于.解析如图所示，取BD中点E，连接AE、CE.∵△ABD、△BCD均为等腰三角形，∴AE⊥BD，CE⊥BD，∴BD⊥平面AEC.∴∠AEC为二面角A—BD—C的平面角， ∴∠AEC=120°.在平面AEC内过A作CE的垂线AH,垂足为H,则H在CE的延长线上.∵BD⊥平面AEC，∴BD⊥AH.又AH⊥CE,∴AH⊥平面BCD.∵∠BAD=120°,∴∠BAE=60°,又∠AEH=60°,即点A到△BCD所在平面的距离为.答案 8.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD的中点，则异面直线AE、BC所成角的正切值为.解析如图所示，取BD中点O，连结AO、OE，则AO⊥BD.∵平面ABD⊥平面CBD，∴AO⊥平面BCD，OE∥BC，∴∠AEO即为AE、BC所成的角.设正方形的边长为2，则OE=1，AO=，∴tan∠AEO=. 9.a、b表示直线，α、β、γ表示平面.①若α∩β=a,bα,a⊥b，则α⊥β;②若aα,a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩γ=a,β∩γ=b,则a⊥b;④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；⑤若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β.上述五个命题中，正确命题的序号是. 解析对①可举反例如图，需b⊥β才能推出α⊥β.对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a，b不垂直；对④a只需垂直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线.所以只有②⑤是正确的.答案②⑤ 三、解答题10.四面体ABCD中,AC=BD，E、F分别是AD、BC的中点，且∠BDC=90°.求证：BD⊥平面ACD.证明如图所示，取CD的中点G，连接EG、FG、EF.∵E、F分别为AD、BC的中点，∴EGAC，FGBD. 又AC=BD，在△EFG中，EG2+FG2=AC2=EF2.∴EG⊥FG.∴BD⊥AC.又∠BDC=90°，即BD⊥CD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD. 11.如图所示，已知△ABC是等边三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，且EC、DB在平面ABC的同侧，M为EA的中点，CE=2BD.求证：（1）DE=DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；（3）平面DEA⊥平面ECA.证明如图所示，取AC中点N，连结MN、BN， ∵EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，∴EC∥BD.△ECA中，M、N分别是EA、CA中点,∴MN∥EC，又∵EC=2BD，∴MN∥BD且MN=BD.∴四边形MNBD是平行四边形.∴MD∥BN.∵EC⊥平面ABC，且BN平面ABC,∴EC⊥BN.∵正三角形ABC中，N是AC中点，∴BN⊥AC.又AC∩EC=C，∴BN⊥平面ECA.∴MD⊥平面ECA. （1）∵MD⊥平面ECA，EA平面ECA，∴MD⊥EA.∵EM=MA，∴Rt△DME≌Rt△DMA.∴DE=DA.（2）∵MD⊥平面ECA，MD平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.（3）∵MD⊥平面ECA，MD平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA. 12.（2009·北京理，16）如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值.(3)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由.（1）证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA=90°,∴AC⊥BC.又AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC. (2)解∵D为PB的中点，DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角.∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB.又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形.在Rt△ABC中，∠ABC=60°, 在Rt△ADE中，sin∠DAE=∴AD与平面PAC所成角的正弦值为.(3)解∵DE∥BC，又由(1)知,BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角.∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC=90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时，∠AEP=90°,故存在点E使得二面角A—DE—P是直二面角.返回