“直线与平面垂直的定义与判定”教学设计

“直线与平面垂直的定义与判定”教学设计浙江省金华第一中学 孔小明一、内容和内容解析 本节课的主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用.课本（“人教A版”必修2，下同）通过让学生观察旗杆与它在地面上影子的位置关系引出直线与平面垂直的概念，并通过折纸试验让学生操作并确认直线与平面垂直的判定定理.定理把定义中要求的与平面内“任意”一条（无限）直线垂直转化为与平面内“两条”（有限）相交直线垂直，使直线与平面垂直的判定具有可操作性.课本中的例1给出了判定直线与平面的一个间接方法：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直与这个平面. 直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一. 通过该内容的学习，进一步培养和发展学生的几何直观能力、合情推理与逻辑推理能力以及运用图形语言进行交流的能力，体验和领悟转化的数学思想，即“空间问题转化平面问题”“无限问题转化为有限问题”“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化”等. 教学重点：抽象概括直线与平面垂直的定义，操作确认直线与平面垂直的判定定理. 教学难点：操作确认直线与平面垂直的判定定理及其初步应用. 二、目标和目标解析 目标：理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理. 目标解析： 1.利用已有知识与生活经验，抽象概括出直线与平面垂直的定义； 2.通过概括、辨析与应用，正确理解直线与平面垂直的定义； 3.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理； 4.能运用直线与平面垂直的判定定理，证明和直线与平面垂直有关的简单命题. 三、教学问题诊断分析 学生已经学习了两条直线（共面或异面）互相垂直的位置关系，学习了直线、平面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，具备学习本节课所需的知识.  在探究直线与平面垂直的判定定理过程中，学生对“为什么要且只要两条相交直线”的理解有一定的困难，因为定义中的“任意一条直线”是指“所有直线”，这种用“有限”代替“无限”的过程会导致学生形成理解上的思维障碍.同时，在运用直线与平面垂直的判定定理时，有些学生不知如何选择已知平面内的两条相交直线，从而导致证明过程中无从着手或发生错误. 四、教学支持条件分析 为了有效实现教学目标，教师准备：多媒体课件（以PowerPoint为平台）、三角板、大三角形纸片等教具.学生自备：三角形纸片（任意形状）、笔（表直线）、课本（表平面）等学具. 五、教学过程设计 （一）直观感知直线与平面垂直的位置关系 在直线与平面的位置关系中，直线在平面内、直线与平面平行我们已经系统研究过了，接下来要研究直线与平面相交的情形. 问题1请举出日常生活中具有直线与平面相交的例子，你见到最多的直线与平面相交的情形是什么？ 意图：基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中的特例——直线与平面垂直的形象，由此引出课题. 师生活动：学生举例，通过比较，引导学生先研究直线与平面垂直的情形，教师根据学生举例的情况适当补充，如旗杆与地面、跨栏的支架与地面的位置关系等. 问题2在已学的空间几何体的直观图中，说说你心目中哪些直线与平面是垂直的？ 意图：基于学生的数学现实，在已学的几何模型中感知直线与平面垂直的位置关系. 师生活动：学生举例，如长方体的侧棱与底面，圆柱、锥的轴与底面的位置关系等. 问题3你觉得画怎样的直观图最能反映你心目中的直线与平面垂直的情形？ 意图：给出直观图的画法，有利于揭示问题的本质，有利于进行几何的抽象概括. 师生活动：学生画图，师生共同分析画法. 画法：如图1，通常把直线l画成与表示平面α的平行四边形的一边垂直           （二）抽象概括直线与平面垂直的定义 作为一种常见的特殊位置关系，我们首先要给它下定义，如何定义一条直线与一个平面垂直呢？从构成要素的角度看容易想到已研究的直线与平面平行的位置关系. 问题4（1）你能回忆一下直线与平面平行的研究思路吗？ （2）类似的我们又如何研究一条直线与一个平面垂直呢？ 意图：引导学生用“降维”的思想来思考问题，通过考察直线与平面内直线的位置关系来研究直线与平面垂直的情形.  师生活动：学生回忆直线与平面平行的研究思路，考察该直线与平面内直线的位置关系（图2），教师适时给出“旗杆与变动的影子的关系”的情景来启发学生.          问题5如图3，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC （1）它们的位置关系是怎样的？ （2）随着太阳的移动，它们的位置关系会发生改变吗? （3）AB与地面上任意一条不是影子（不过旗杆底部B）的直线B′C′的位置关系又是什么？由此得到什么结论？          意图：第（1）（2）问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（3）问旨在引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，从中概括出：一条直线与一个平面垂直，那么该直线与此平面内的任意一条直线都垂直. 师生活动：学生思考、分析与说理，教师可利用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子的移动过程.得出结论后引导学生思考：能否用一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，来定义直线与平面垂直. 问题6若一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，你能断定该直线与此平面垂直吗？ 意图：通过观察、思考与讨论，让学生感悟：一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，这条直线就与该平面垂直.并让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义. 师生活动：引导学生继续操作、观察，如图4，当的平面外直线AB（用一支笔表示）与平面（用桌面表示）不垂直时，平面内就有直线BC（可用另一支笔表示）与平面外的这条直线不垂直.接着引导学生给出定义，教师给出严格定义及其相关概念.          定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. 辨析1：命题“如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直”是否正确？为什么？ 意图：使学生明确平面中直线的“任意性”. 师生活动：引导学生用笔表示直线，用书本表示平面来举出反例，教师可结合图5说明.         （三）操作确认直线与平面垂直的判定定理 通常定义可以作为判定的依据. 问题7如图6，标准的跨栏，其支架必须竖直立于地面（即支架所在直线与地面所在平面垂直），如何进行检验？                 意图：引发学生认知冲突，激发探索判定定理的需要，将平面内直线条数从无限条转化为有限条. 师生活动：先让学生思考用定义判断不方便的原因，再讨论平面内直线减少到多少条才合适，排除一条和两条平行的情形，针对两条相交情形，引导学生进行折纸活动. 实验：请你拿出准备好的三角形的纸片，我们一起来做一个试验：如图7，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）              问题8（1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使AD与桌面所在平面α垂直？ 意图：通过折纸活动让学生发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在的平面α垂直（如图8）.  师生活动：让学生沿A点进行各种翻折，并充分观察、思考与讨论，教师参与活动.   问题9当折痕AD与BC不垂直时，绕AD无论怎样翻折，翻折后AD始终与桌面所在平面α不垂直吗？为什么？ 意图：回归定义分析，明确判定一条直线与一个平面不垂直，只要该直线与平面内的一条直线不垂直. 师生活动：学生继续观察并说理，如图9，当AD与BC不垂直时，翻折后AD始终与桌面内的直线BD（或DC）不垂直.       问题10当折痕AD⊥BC时，绕AD无论怎样翻折， （1）翻折之后AD始终与桌面所在平面α垂直吗？ （2）翻折之后的垂直关系即AD⊥BD，AD⊥CD是否发生变化？由此得到什么结论？ 意图：问题（1）旨在让学生继续操作并确认AD始终与桌面所在平面α垂直的事实，问题（2）意在引导学生发现：当AD垂直于平面α内过D的任意两条相交直线时，AD就垂直于平面α. 师生活动：引导学生继续操作观察，进行合情推理并获得结论. 问题11AD⊥BD，AD⊥CD，就有AD⊥α.它与直线与平面垂直的定义相符合吗？ 意图：建立了定义与判定之间的联系，有助于学生发现判定的本质，也有助于深化学生对定义的理解. 师生活动：学生解释说明，如图10，当AD⊥BC时，固定BD，保持DC紧贴桌面，让折纸的CAD部分挠着AD旋转，旋转过程中发现AD始终与平面α垂直（直观感知），同时 AD与平面α内任意一条过点D的直线都垂直，因此AD与平面α内任意一条直线都垂直.       问题12根据上面的试验，结合两条相交直线确定一个平面的事实，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？ 意图：让学生归纳出直线与平面垂直的判定定理. 师生活动：学生叙述判定定理，教师可追问：上述平面中两条相交直线与平面外的这条直线是否一定要有公共点？以明确平面内两相交直线的任意性，接着指出前面的验证过程并非定理的严格证明，在后续学习中将借助空间向量的方法来证明，再引导学生给出文字、图形、符号这三种语言表示，明确定理中的五个条件. 定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.（如图11）    用符号语言表示为： 辨析2：命题“如果一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所在的平面”是否正确？为什么？ 意图：强化平面中两条“相交”直线的条件. 师生活动：学生思考作答，教师强调“相交”条件.接着让学生给出检验跨栏的支架是否竖直立于地面的办法：只要与地面上两相交横杆垂直. （四）初步应用 例1：如图12，在正方体AC′中，下列结论是否正确，为什么？   ①AD⊥面DCC′D′②BD⊥面DCC′D′③AD⊥CD′ 意图：利用所学知识解决直线与平面垂直的有关问题，体会转化思想在解决问题中的作用.其中①是判定定理的应用，②是定义的应用，③是判定定理与定义的综合应用.   师生活动：学生思考作答，教师参与讨论. 例2：如图13，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α. 意图：能分别用判定定理与定义解决问题，会用证明问题的一般思维策略：由已知想可知（性质），由未知想需知（判定），合理选择辅助线. 师生活动：由学生分析思路并口述证明过程，师生共同评析，接着引导学生阅读课本，注意证明题书写的规范性，并用文字语言叙述：两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面. 练习：如图14,在三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC，求证：VB⊥AC.(课本P67练习1) 意图：进一步领会问题解决的一般思维策略，合理选择辅助平面，体会转化思想在解决问题中的作用.   师生活动：学生板演练习，师生共同评析.  （五）总结反思 （1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？ （2）上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想？ （3）你还有什么收获与感想？ 意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括. 六、目标检测设计 1.如图14，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD.求证：PO⊥平面ABCD.         2.课本P74练习1  3.课本P73探究题：如图15，直四棱柱A′B′C′D′-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，A′C⊥B′D′？          意图：通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力.其中第1题主要运用直线与平面垂直的判定定理，第2、3题是活用直线与平面垂直的定义与判定定理.  设计说明： 高中新课标强调立体几何教学中用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算的方法认识和探索几何图形及其性质.本节课是在该要求的指导下，借助学生已有的研究经验，按照感知实例—归纳定义—确认判定—初步应用的研究主线展开. 直线与平面垂直是日常生活中常见的特殊线面位置关系，教学中通过引导学生举例，有助于学生直观感知直线与平面垂直的形象，通过在空间几何体的直观图中寻找线面垂直的位置关系，有助于从中抽象出线面垂直的直观图形，培养学生的几何直观能力. 直观感知后给线面垂直下定义是自然的事，为了帮助学生理解定义中的“任意一条”，本部分设计以概念的形成方式进行，教学中首先类比“直线与平面平行”的研究思路，引导学生运用“降维”转化的方法思考问题，考察直线与平面内直线的位置关系，再通过分析旗杆与影子的位置关系这种学生熟悉的生活实例，让学生通过观察、实验、归纳、猜想等思维活动逐步概括得出线面垂直的定义，使定义教学自然、合理、准确，有助于学生对线面垂直本质的理解，也有助于提高学生的抽象概括能力.  对判定定理的教学，课标不要求在必修课程中进行证明，而强调操作确认并归纳出判定定理.但是怎样操作才能归纳出判定定理？确认到什么程度，才能在不对定理进行证明的情况下，不降低学生的思维水平，不仅体现合情推理，而且体现逻辑推理？本设计充分利用教材中折纸试验的素材，通过一系列问题的引导，给学生提供动手操作的机会，引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论，把合情推理作为一个重要的推理方式融入到学生的学习过程中.同时让学生在操作过程中进行解释与说理，挖掘折纸试验所反映的数学本质，建立判定与定义的有效联系，体现了操作确认过程中的逻辑推理成份，达到合情推理与逻辑推理并重的效果.另外，通过定理的探索过程，也培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力. 例、习题的选择充分考虑知识应用的层次性，从让学生理解、记忆定义与判定及简单应用到灵活应用判定和定义进行线线、线面位置关系的转化等，巩固所学知识，体会蕴含的转化数学思想，丰富证明问题的思考策略.