高中数学人教a版必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 直线与平面垂直的判定 试题1

2.3.1直线与平面垂直的判定1．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则b与α所成的角等于(  )A．40°         B．50°C．90°D．150°解析：∵a∥b，直线a与平面α所成的角即为直线b与平面α所成的角．答案：B2．下列表述正确的个数为(  )①若直线a∥平面α，直线a⊥b，则b⊥α；②若直线a⊄平面α，b⊂α，且a⊥b，则a⊥α；③若直线a平行于平面α内的两条直线，则a∥α.A．0B．1C．2D．3解析：①中b与α还可能平行、斜交或b在平面α内，②中a与α还可能平行或斜交，③中a还可能在平面α内．答案：A3．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面(  )A．有且只有一个B．可能有一个，也可能不存在C．有无数多个D．一定不存在解析：当a与b垂直时，过a且与b垂直的平面有且只有1个，当a与b不垂直时，过a且与b垂直的平面不存在．答案：B4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是(  )A.B．2C．3D．4解析：如图所示，作PD⊥BC于D，连AD.∵PA⊥△ABC，∴PA⊥CD.∴CB⊥面PAD，∴AD⊥BC.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4，在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4.答案：D 5.在三棱锥VABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件________时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)解析：只要VC⊥面VAB，即有VC⊥AB；故只要VC⊥VA，VC⊥VB即可．答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证VC⊥AB即可)6.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有_______________________________________；(2)与AP垂直的直线有_______________________________________．解析：(1)∵PC⊥面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.∴PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC (2)BC7．如图，在直角三角形BMC中，∠BCM＝90°，∠MBC＝60°，BM＝5，MA＝3且MA⊥AC，AB＝4，求MC与平面ABC所成角的正弦值．解：因为BM＝5，MA＝3，AB＝4，所以AB2＋AM2＝BM2，所以MA⊥AB，又因为MA⊥AC，AB、AC⊂平面ABC，且AB∩AC＝A，所以MA⊥平面ABC，所以∠MCA即为MC与平面ABC所成的角，又因为∠MBC＝60°，所以MC＝，所以sin∠MCA＝＝＝.8.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE、NE，∵N为PC的中点，E为PD的中点，∴NE∥CD且NE＝CD，而AM∥CD， 且AM＝AB＝CD，∴NE∥AM且NE＝AM，∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD，而AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，又AE∥MN，∴MN⊥CD.(2)由(1)可知CD⊥AE，MN∥AE.又∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，又E为PD的中点，∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD.又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.