高中数学人教a版必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 直线与平面垂直的判定 试题2

2.3.1直线与平面垂直的判定一、选择题1．下列命题中正确的个数是(  )①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0B．1C．2D．32．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是(  )A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(  )A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为(  )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为(  )A．4B．3C．2D．16．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果这些斜线与平面成等角，有如下命题：①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正确命题的个数是(  )A．1B．2C．3D．4二、填空题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________． 三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC； (2)PQ⊥SC．1．运用化归思想，将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，而同时还由此得到直线与直线垂直．即“线线垂直⇔线面垂直”．2．直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．3．线线垂直的判定方法(1)异面直线所成的角是90°．(2)线面垂直，则线线垂直．§2．3 直线、平面垂直的判定及其性质2．3．1 直线与平面垂直的判定答案知识梳理1．(1)任意一条 垂直 l⊥α 垂线 垂面(2)两条相交直线 a⊂α b⊂α a∩b＝A2．(1)射影 锐角 ∠PAO(2)0° [0°，90°]作业设计1．B [只有④正确．]2．D3．C [取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选C．]4．B [易证AC⊥面PBC，所以AC⊥BC．]5．A [⇒⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC， ∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC．]6．A [PO⊥面ABC．则由已知可得，△PAO、△PBO、△PCO全等，OA＝OB＝OC，O为△ABC外心．只有③正确．]7．(1)45° (2)30° (3)90°解析 (1)由线面角定义知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°．(2)连接A1D、AD1，交点为O，则易证A1D⊥面ABC1D1，所以A1B在面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与面ABC1D1所成的角为∠A1BO，∵A1O＝A1B，∴∠A1BO＝30°．(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，∴A1B⊥面AB1C1D，即A1B与面AB1C1D所成的角为90°．8．∠A1C1B1＝90°解析 如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)9．90°解析 ∵B1C1⊥面ABB1A1，∴B1C1⊥MN．又∵MN⊥B1M，∴MN⊥面C1B1M，∴MN⊥C1M．∴∠C1MN＝90°．10．证明 在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．11．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD， ∴CD⊥PA．又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．(2)取PD的中点G，连接AG，FG．又∵G、F分别是PD，PC的中点，∴GF綊CD，∴GF綊AE，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF．∵PA＝AD，G是PD的中点，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD．∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD．12．证明 连接AB1，CB1，设AB＝1．∴AB1＝CB1＝，∵AO＝CO，∴B1O⊥AC．连接PB1．∵OB＝OB2＋BB＝，PB＝PD＋B1D＝，OP2＝PD2＋DO2＝，∴OB＋OP2＝PB．∴B1O⊥PO，又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面PAC．13．证明 (1)∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC．又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB．又∵AQ⊂平面SAB，∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B，∴AQ⊥平面SBC．(2)∵AQ⊥平面SBC，SC⊂平面SBC，∴AQ⊥SC．又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A， ∴SC⊥平面APQ．∵PQ⊂平面APQ，∴PQ⊥SC．