直线平面垂直的判定及其性质

第5讲　直线、平面垂直的判定及其性质【2014年高考会这样考】1．以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定．考查空间想象能力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力．2．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题． 考点梳理(1)定义：若直线l与平面α内的_____一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条_____直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒________.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_____．即：a⊥α，b⊥α⇒_____.1．直线与平面垂直任意相交l⊥α平行a∥b (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的_____，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒___________.(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_____的直线与另一个平面_____．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒________.2．平面与平面垂直垂线α⊥β垂直a⊥β交线 一个转化垂直问题的转化关系【助学·微博】 四种方法证明线面垂直的方法：判定定理、平行线垂直平面的传递性(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)、面面垂直的性质定理、面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)． A．α⊥β⇒l⊥mB．α⊥β⇒l∥mC．l⊥m⇒α∥βD．l∥m⇒α⊥β解析由l∥m，l⊥α⇒m⊥α，又m∥β，∴m一定平行于β内的一条直线b.∴b⊥α，∴α⊥β.答案D考点自测1．已知直线l⊥α，直线m∥β，下列命题中正确的是()． ①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中真命题的是()．A．①③B．①④C．②③D．②④解析①中，由n∥β，α∥β得n∥α或n⊂α，又m⊥α，∴m⊥n，故①正确；②中，可能n⊂β，故②错误；③中，直线n可能与平面β斜交或平行，也可能在平面β内，故③错；④中，由m∥n，m⊥α，可得n⊥α，又α∥β可得n⊥β，故④正确．答案B2．m、n是空间中两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题： A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析若α⊥β，又α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又因为a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，即不能推出α⊥β.答案A3．(2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()． A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直答案B 解析由线面垂直知，图中直角三角形为4个．答案45.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________． 考向一　直线与平面垂直的判定与性质 [审题视点](1)由PH⊥AD及AB⊥平面PAD可证；(2)以AD为△BCF的高，而点E到平面BCF的距离可借助PH垂直底面ABCD求得；(3)取PA的中点M，可证DM綉FE，且DM⊥平面PAB，从而得证．(1)证明因为AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，所以PH⊥AB.因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD. 线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直．推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件．三角形全等、等腰梯形底边上的中线、高、勾股定理等都是找线线垂直的方法． 【训练1】如图，已知BD⊥平面ABC，AC＝BC，N是棱AB的中点．求证：CN⊥AD.证明∵BD⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴BD⊥CN.又∵AC＝BC，N是AB的中点．∴CN⊥AB.又∵BD∩AB＝B，∴CN⊥平面ABD.而AD⊂平面ABD，∴CN⊥AD. 【例2】►如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考向二　平面与平面垂直的判定与性质[审题视点]考虑先证明直线BM⊥平面A1B1M，则由面面垂直的判定定理可得平面ABM⊥A1B1M. 证明面面垂直的方法有：一是定义法，即证明两个平面的二面角为直二面角；二是用判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，也就是把“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，又将“线面垂直”问题进一步转化为“线线垂直”问题． 【训练2】在如图所示的几何体中，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，M为AF的中点，BN⊥CE.(1)求证：CF∥平面MBD；(2)求证：CF⊥平面BDN. 证明(1)连接AC交BD于点O，连接OM.因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC的中点．因为M为AF的中点，所以FC∥MO.又因为MO⊂平面MBD，FC⊄平面MBD，所以FC∥平面MBD.(2)因为正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，所以AF⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD，所以AF⊥BD.又因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.因为AC∩AF＝A，所以BD⊥平面ACF，因为FC⊂平面ACF，所以FC⊥BD.因为AB⊥BC，AB⊥BE，BC∩BE＝B，所以AB⊥平面BCE. 因为BN⊂平面BCE，所以AB⊥BN.易知EF∥AB，所以EF⊥BN.又因为EC⊥BN，EF∩EC＝E，所以BN⊥平面CEF.因为FC⊂平面CEF，所以BN⊥CF.因为BD∩BN＝B，所以CF⊥平面BDN. (1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．考向三　垂直关系的综合应用 [审题视点](1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD.(2)四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离． (1)对于三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．(2)对于垂直与体积结合的问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积． 【训练3】(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE. 证明(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以直线A1F∥平面ADE. 【命题研究】通过分析近几年各省市的高考试题可以看出，高考对线面垂直、面面垂直的判定和性质的考查每年都有，主要以解答题形式出现，考查线面位置关系的相互转化，难度适中．规范解答13——垂直关系综合问题的规范解答 (1)证明：PQ⊥平面DCQ；(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．[教你审题](1)证明PQ⊥DC，PQ⊥QD，进而可得PQ⊥平面DCQ；(2)设出正方形的边长为a，分别计算两个棱锥的体积，再求体积的比值． [阅卷老师手记]解答此类问题，以下几点易造成失分：(1)解题时忽视各种垂直间的转化，从而造成思路受阻；(2)缺乏空间想象能力，找不出应该垂直的线和面；(3)答题过程书写不规范，如在证明线面垂直时忽视了对“平面内两条相交直线”的叙述，因此，在复习中要重视对基础知识的积累、解题过程的规范，并且要善于使用数学符号进行表达． 证明线面垂直问题的答题模板第一步：作(找)出所证线面垂直中的平面内的两条相交直线；第二步：证明线线垂直；第三步：根据线面垂直的判定定理证明线面垂直；第四步：反思回顾，检查解题过程是否规范． 【试一试】(2013·烟台一模)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1.(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°)，试求cosθ的取值范围．