2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定整体设计教学分析空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面的垂直问题是连接线线垂直和面面垂直的桥梁和纽带，可以说线面垂直是立体几何的核心.本节重点是直线与平面垂直的判定定理的应用.三维目标1.探究直线与平面垂直的判定定理，培养学生的空间想象能力.2.掌握直线与平面垂直的判定定理的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力.3.让学生明确直线与平面垂直在立体几何中的地位.重点难点教学重点:直线与平面垂直的判定.教学难点:灵活应用直线与平面垂直判定定理解决问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.思路2.(事例导入)如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？举例说明.如图1，直线AC1与直线BD、EF、GH等无数条直线垂直，但直线AC1与平面ABCD不垂直.图1推进新课新知探究提出问题①探究直线与平面垂直的定义和画法.②探究直线与平面垂直的判定定理.③用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理.④探究斜线在平面内的射影，讨论直线与平面所成的角.⑤探究点到平面的距离.活动:问题①引导学生结合事例观察探究.
问题②引导学生结合事例实验探究.问题③引导学生进行语言转换.问题④引导学生思考其合理性.问题⑤引导学生回忆点到直线的距离得出点到平面的距离.讨论结果：①直线与平面垂直的定义和画法：教师演示实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线都垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们直线和平面垂直的形象.从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足.直线和平面垂直的画法及表示如下：如图2，表示方法为：a⊥α.图2图3②如图3,请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）.(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直？容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在的平面α垂直.如图4.(1)(2)图4所以，当折痕AD垂直平面内的一条直线时，折痕AD与平面α不垂直，当折痕AD垂直平面内的两条直线时，折痕AD与平面α垂直.③直线和平面垂直的判定定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.直线和平面垂直的判定定理用符号语言表示为：l⊥α.直线和平面垂直的判定定理用图形语言表示为：如图5,
图5图6④斜线在平面内的射影.斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线.斜足：斜线和平面的交点.斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.直线与平面相交，直线与平面的相互位置类同于两条相交直线，也需要用角来表示，但过交点在平面内可以作很多条直线.与平面相交的直线l与平面内的线a、b…所成的角是不相等的.为了定义的确定性，我们必须找到一些角中有确定值的，又能准确描述其位置的一个角，这就是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角.平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地：如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角.一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为0°.如图6，l是平面α的一条斜线，点O是斜足，A是l上任意一点，AB是α的垂线，点B是垂足，所以直线OB（记作l′）是l在α内的射影，∠AOB（记作θ）是l与α所成的角.直线和平面所成的角是一个非常重要的概念，在实际中有着广泛的应用，如发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中目标，也即射程为多远？又如铅球运动员在投掷时，以多大的角度投掷，投出的距离最远？⑤点到平面的距离:经过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，点在平面内的射影还是一个点.垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.点到平面的距离：垂线段的长叫做点到平面的距离.应用示例思路1例1如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.解：已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.图7证明：如图7,在平面α内作两条相交直线m、n，设m∩n=A.************变式训练如图8,已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.
图8证明：过P作PO⊥平面ABC于O，连接OA、OB、OC.∵PO⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PO⊥BC.又∵PA⊥BC，∴BC⊥平面PAO.又∵OA平面PAO，∴BC⊥OA.同理,可证AB⊥OC.∴O是△ABC的垂心.∴OB⊥AC.可证PO⊥AC.∴AC⊥平面PBO.又PB平面PBO，∴PB⊥AC.点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直.用符号语言证明问题显得清晰、简洁.例2如图9,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.图9活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O.设正方体的棱长为a，因为A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以A1B1⊥平面BCC1B1.所以A1B1⊥BC1.又因为BC1⊥B1C，所以BC1⊥平面A1B1CD.所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角.在Rt△A1BO中,A1B=,BO=,所以BO=,∠BA1O=30°.因此,直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.变式训练如图10，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.图10解：过A作AO⊥面BCD，连接OD、OB、OC，则可证O是△BCD的中心,作QP⊥OD,
∵QP∥AO,∴QP⊥面BCD.连接CP，则∠QCP即为所求的角.设四面体的棱长为a，∵在正△ACD中，Q是AD的中点,∴CQ=.∵QP∥AO，Q是AD的中点,∴QP=，得sin∠QCP=.点评：求直线与平面所成的角，是本节的又一重点，作线面角的关键是找出平面的垂线.思路2例1（2007山东高考,文20）如图11(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)(1)求证：D1C⊥AC1；（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由.（1）证明：在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，连接C1D，如图11(2).(2)∵DC=DD1，∴四边形DCC1D1是正方形.∴DC1⊥D1C.又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1=D,∴AD⊥平面DCC1D1，D1C平面DCC1D1.∴AD⊥D1C.∵AD、DC1平面ADC1，且AD∩DC1=D,∴D1C⊥平面ADC1.又AC1平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)解：连接AD1、AE，如图11(3).
(3)图11设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，要使D1E∥平面A1BD，需使MN∥D1E，又M是AD1的中点，∴N是AE的中点.又易知△ABN≌△EDN，∴AB=DE,即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.变式训练如图12，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心.求证：A1O⊥平面GBD.图12证明：BD⊥A1O.又∵A1O2=A1A2+AO2=a2+()2=,OG2=OC2+CG2=()2+()2=,A1G2=A1C12+C1G2=(a)2+()2=,∴A1O2+OG2=A1G2.∴A1O⊥OG.又BD∩OG=O,∴A1O⊥平面GBD.点评：判断线面垂直往往转化为线线垂直，勾股定理也是证明线线垂直的重要方法.例2如图13，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影.
图13证明：∵SA⊥BC,又∵AB⊥BC,SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.∵SC⊥平面AHKE,∴SC⊥AE.又BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SB,即E为A在SB上的射影.同理可证,H是点A在SD上的射影.变式训练已知Rt△ABC的斜边BC在平面α内，两直角边AB、AC与α都斜交，点A在平面α内的射影是点A′，求证：∠BA′C是钝角.证明：如图14，过A作AD⊥BC于D，连接A′D，图14∵AA′⊥α，BCα，∴AA′⊥BC.∴BC⊥A′D.∵tan∠BAD=＜tan∠BA′D=，tan∠CAD=＜tan∠CA′D=，∴∠BAD＜∠BA′D，∠CAD＜∠CA′D.∴∠BAC＜∠BA′C，即∠BA′C是钝角.知能训练如图15，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，线段AB与两异面直线a、b垂直且相交，线段AB的长为定值m，定长为n（n＞m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点.图15求证：（1）AB⊥MN；（2）MN的长是定值.证明：(1)取PB中点H,连接HN,则HN∥b.又∵AB⊥b,∴AB⊥HN.同理,AB⊥MH.∴AB⊥平面MNH.∴AB⊥MN.
(2)∵b⊥平面PAB.∴b⊥PB.在Rt△PBQ中,BQ2=PQ2-PB2=n2-PB2,①在Rt△PBA中,PA2=PB2-AB2=PB2-m2,②①②两式相加PA2+BQ2=n2-m2,∵a⊥b,∴∠MHN=90°.∴MN=(定值).拓展提升1.如图16，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.图16（1）求证：AC⊥BC1;（2）求证：AC1∥平面CDB1；（1）证明：∵在△ABC中,AC=3,AB=5,BC=4,∴△ABC为直角三角形.∴AC⊥CB.又∵CC1⊥面ABC,AC面ABC,∴AC⊥CC1.∴AC⊥面BCC1B1.又BC1面BCC1B1,∴AC⊥BC1.（2）证明：连接B1C交BC1于E，则E为BC1的中点，连接DE,则在△ABC1中,DE∥AC1.又DE面CDB1,则AC1∥面B1CD.课堂小结知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.作业课本习题2.2B组3、4.设计感想线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，尤其是线面垂直问题是立体几何的核心，一个立体几何问题能否解决往往取决于能否作出平面的垂线；面面垂直的性质定理恰好能解决这个问题，因此它是高考考查的重点，本节不仅选用了大量经典好题，还选用了大量的2007高考模拟题以及2007年高考题，相信能够帮助大家解决立体几何中的重点难点问题.
德育教育融入小学课堂教学的有效对策随着我国小学德育教育不断提档升级，在小学课堂教学中进行德育渗透，日益成为现代小学品德教育的重要目标与方向。在小学教育阶段，是学生形成自身道德体系的关键时期，利用小学课堂教学开展德育教育，可以实现小学生个人思想品格的形成与塑造。在小学课堂教学体系中，蕴含着大量的德育知识与德育教育资源，如何将德育教育与课堂教学有机融合，是现代德育教学探索的主要方向，同时也是我们日常教学的出发点和着力点。一、营造良好的课堂氛围，充分利用教学资源在小学教育阶段，课堂是培养和激发学生道德意识的重要载体和平台。在道德培养的过程中，最为重要的就是要打造新型民主课堂，让学生在课堂中准确找到自己的位置，明确自身在课堂以及生活中权利义务，强化提升个人道德意识，构建自身的认知体系。在小学教学课堂上，教师要向学生灌输道德意识，在向学生提出要求的过程当中，要构建平等的话语体系，与学生进行平等对话，共同探讨和研究问题，帮助学生在课堂上培养自己的道德思维和道德意识，将自己当成课堂一份子，关注和理解课堂以及生活中出现的道德问题。举例来说，在小学语文六年级上册中，有一篇課文为《文天祥》，在开展讲解过程中，教师可以有效融入爱国主义教育，并引申相关知识，提升学生道德水平，激发学生爱国热情。在语文课堂教学中融入相应的知识，可以减小学生对于单纯宣教的抵触情绪，提高德育教育效果。此外，在小学语文五年级上册中，有课文《我的战友邱少云》，可以利用教学契机，提升学生爱国主义精神。二、打造生活化课堂，引导学生形成道德意识在小学课堂教学当中，要有效培养和提升学生的道德意识，要从打造生活化课堂入手。在传统的小学德育教学过程当中，教学效果不够理想，很多学生对于德育教育都存在一定的抵触情绪，因为小学德育教学内容与现实生活明显存在着脱节的现象，学生对于课堂和教学内容缺乏认同感，无法深刻感知德育课程蕴含的道理与教学内容。对于此，要想利用课堂教学培养学生的道德意识，要从构建生活化课堂入手，让德育课程教学内容与小学生的日常生活紧密相连，提升其认知能力，进而通过理论宣导，引起学生的联想，提高学生的思维能力，培养学生主体思想与德育意识。在教学实践当中，小学教师要充分运用多样化教学素材，内化于心、外化于形，让学生深入课堂体系当中，提升对于课堂教学内容的接受程度，提升道德培养效果。举例来说，在小学语文所学内容当中，很多文章都是开展的德育教育的合适载体，比如说，在小学语文六年级上册中，有一篇名为《将相和》的课文，教师在讲解课文过程当中，不仅仅要讲解历史典故，更要结合现实生活，引导学生学习古人的气度与胸襟，培养自己高尚的人格。因此，在德育教育过程中，教师要将生活习惯与德育教学内容紧密结合起来，创设有效的教学情境，搭建现实生活与道德知识之间的有机桥梁，提升学生的领悟力和自我认知能力，最终构建和培养自身的道德意识，帮助学生早日成为一名思想品德合格的优秀公民。三、强化课堂实践环节，唤醒学生道德意识在传统的小学德育教学当中，存在的一个重要教学问题就是实践环节的缺失，这也是制约学生道德意识培养与提升的一个瓶颈。在开展德育课程教学过程当中，要培养学生的公民意识，要将教学内容有效延伸与拓展，要与日常生活实践相互衔接，开展丰富多样的实践活动，引导学生在实践活动中体验生活，强化自身道德意识，找准自身角色定位，明确自身的权利义务，在不同生活角色中进行转换，提高自身素养，成为一名合格的社会公民。在开展课堂教学过程中，二、能力提升5、12.30万精确到（）A.千位11、某学生在进行体检时，量得身高约为1.60米，他在登记时写成1.6米，从近似值的意义上去理解，测量结果与登记数是否一致？为什么？四、中考链接12、(呼和浩特中考题)用四舍五入法，分别按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的（）A.0.1（精确到0.1）B.0.05（精确到百分位）C.0.05（精确到千分位）D.0.050（精确到0.001）参考答案夯实基础1、D2、B3、50从小开始练习写字，几年来我认认真真地按老师的要求去练习写字。以前练习写字，大多是在印有田字格或米字格的练习本上进行。教材中田字格或米字格里的范字我都认真仿写，其难度较大。我写起来标准难以掌握，不是靠上了，就是靠下了；不是偏左，就是偏右。后来在老师的指导下，我练习写字时，一开始观察字的笔画偏旁在格子中的位置，做到心中有数，然后才进行仿写，并要求把字尽量写大，要写满格子。这样写的好处有两个：一是培养我读帖习惯，可以从整体布局上纠正我不能把字写在格子正确位置上的毛病；二是促使我习惯写大字，这样指关节、腕关节运动幅度大，能增强手指、手腕的灵活性，有利于他们写字水平的持续提高。这使我意识到，写字必须做到以下几点：一、提高对练字重要性的认识。写字不仅能培养我们认真、细心的良好习惯，勤奋、刻苦的精神，健康、高雅的情趣，还能促进自己的注意力、观察力、意志力、审美力的发展。二、能使我的写字姿势得到训练。握笔姿势和坐姿是否正确，不但会影响字的美观和书写的速度，而且会影响自己的视力和身体的正常发育。写字时随时提醒自己写字时要做到“三个一”（眼离书本一尺远，胸离书桌一拳远，手离笔尖一寸远）。有意识地注意纠正自己的姿势，并持之以恒。逐渐地，这样就能保持正确、良好的写字姿势。三、做好进行自我评价。及时进行自评可以增强自己的兴趣和积极性，找出自己的缺点。在自我评价后，要找爸爸妈妈进行检查和督导，让大人谈谈哪些字写得好，好在哪里；哪些字写得不好，为什么没有写好。和家长共同评价、交流写字积极性会更高。四、在家长的鼓励和表扬下认真练习。练字是需要长时间坚持的，有时会觉得进步很慢，因而想弃练字。这时，我们要知道自己的练习是有成绩的，字是有明显进步的。这样，就会体会到成就感，也就会坚持练下去。在老师的帮助下，自己的努力下我的写字水平也提高了许多。2017年春季学期七年级数学下册5.3平行线的性质同步测试卷解析版一、选择题1.下列命题正确的是()A．两直线与第三条直线相交，同位角相等B．两直线与第三条直线相交，内错角相等C．两直线平行，内错角相等D．两直线平行，同旁内角相等答案：C本题考查了平行线的性质根据平行线的性质依次判断即可。A、缺少两直线平行的前提，故本选项错误；B、缺少两直线平行的前提，故本选项错误；C、两直线平行，内错角相等，正确；D、两直线平行，同旁内角应该互补，故本选项错误；故选C.如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1=23°，则∠2的度数是（ ）一、填空题。1.在同一平面内,( )的两条直线叫做平行线;两条直线相交成( )时,这两条直线互相垂直。2.长方形的对边互相( ),邻边互相( )。3.( )和( )是特殊的平行四边形。4.下图中有( )个平行四边形,有( )个梯形。5.下面的每个图形中各有几组平行的线段。( )组 ( )组 ( )组 ( )组二、判断题。(正确的画“√”,错误的画“✕”)1.梯形只有一条高。( )2.不相交的两条直线叫做平行线。( )3.有一组对边平行的四边形叫做梯形。( )4.如果两条直线都与同一条直线垂直,那么这两条直线互相平行。( )5.伸缩门利用了平行四边形易变形的特性。( )6.平行四边形有2种不同的高。( )三、选择题。(在括号里填上正确答案的序号)1.两条直线相交形成的4个角可能都是( )。A.锐角B.钝角C.直角D.平角2.平行四边形、梯形的高都是( )。A.线段B.射线C.直线D.曲线3.有一个角是直角的平行四边形一定是( )。A.直角梯形B.长方形C.正方形D.等腰梯形4.下图中,AB与CD相交成直角,正确的表述是( )。A.AB是垂线B.CD是垂线C.AB和CD都是垂线D.CD是AB的垂线5.把一个平行四边形框架拉成一个长方形后,它的周长( )。A.不变B.变小C.变大D.不能确定6.下面的图形中,两个( )能拼成一个长方形。 A B C D四、英语字母的笔画中有些是垂直的,有些是平行的。将下面10个字母填入合适的位置。五、画一画。1.过点A画已知直线的垂线。2.画出下面各图形的高。3.下图是一个正方形的两条边,请你把另外两条边画出来。4.请你在下面的梯形中画一条线段,将梯形分成一个平行四边形和一个三角形。你能想到几种方法?说说你的画法。5.李村要修一条小路与公路连接,如何修最短,请你画出来。新课标第一网六、解决问题。1.一个平行四边形的一条边长24厘米,比它的邻边短2厘米,这个平行四边形的周长是多少分米?2.一个等腰梯形的周长是72厘米,腰是15厘米,上底是18厘米。它的下底是多少厘米?3.如下图,一个平行四边形纸板沿高剪开,分成两个梯形,这两个梯形的周长之和比原来平行四边形的周长多多少厘米?4.小刚用4个完全一样的长方形纸片拼成了一个边长是30厘米的正方形(如下图)。中间形成的空白部分也是一个正方形,它的边长是6厘米。(1)你知道小刚用的长方形纸片的周长是多少吗(2)每个长方形的长与宽各是多少厘米第五单元测试卷参考答案一、1.不相交 直角2.平行 垂直3.长方形 正方形4.3 35.2 1 2 3二、1.✕ 2.✕ 3.✕ 4.✕ 5.√ 6.√三、1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.A四、五、1.略 2.略 3.略4.2种。方法一: 方法二:5.六、1.(24+2+24)×2=100(厘米)100厘米=10分米2.72-15×2-18=24(厘米)3.4×2=8(厘米)4.(1)30×2=60(厘米) 提示:一条长+一条宽=30厘米。(2)长:(30+6)÷2=18(厘米)
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