高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 练习

直线与平面垂直的判定和性质（一）  1．下列命题中正确的是（ ）．  A．若一条直线与平面内的一条直线垂直，则这直线与这个平面垂直  B．若一条直线与平面内的两条直线垂直，则这直线与这个平面垂直  C．若一直线与平面内的无数条直线垂直，则这直线与这个平面垂直  D．若一直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这直线与这个平面垂直  2．已知直线a、b和平面a，下列推理中错误的是（ ）．  A．B．  C．D．  3．直线a在平面a内的射影是一个点，那么一定有（ ）．  A．a∥a   B．a⊥a    C．aa   D．a是a的斜线  4．给出四个命题：  ①过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；  ②若一条直线与平面a平行，那么直线上的所有的点到平面的距离相等；  ③共点O的直线a、b、c两两垂直，那么其中任何一条直线垂直于另两条直线所确定的平面；  ④如果一条直线垂直于平行四边形的两条边，那么这条直线垂直于这个平行四边形所在的平面．  其中正确的命题的个数是（ ）．  A．3B．2 C．1D．0  5．判断下列命题是否正确，并说明理由：  （1）a⊥a，baa⊥b；  （2）AB∥a，AC⊥a，BD⊥aAC=BD；  （3）a∥b，b⊥a，ca=a⊥c；  （4）线段AB⊥a于B，线段CD与a相交于D，则AB≤CD；  （5）线段AB、CD在平面a内的射影为、，若AB=CD，则．  6．平面a的斜线段AB长为6cm，AB在平面a内的射影长为3cm，则AB所在直线与平面a所成的角等于________．  7．在正方体中，  （1）与垂直的棱有________条；  （2）与垂直的面对角线有________条；  （3）与垂直的棱有________条；   （4）与垂直的面对角线有________条．  8．直线a、b与平面a所成的角都等于60°，a、b的位置关系如何?画图说明．  9．已知等边三角形ABC的边长为a，D是BC边中点，PA⊥AB，PA⊥AC，且PA=a（如图9-27）．问PD是否与BC垂直?说明理由，并求点P到BC的距离．图9-27  10．O是平行四边形ABCD两对角线的交点，P平面ABCD，且PA=PC，PB=PD．  求证：PO⊥平面ABCD．参考答案  1．D．  2．C．  3．B．  4．A．其中①、②、③正确．在③中，由于b∩c=P，∴过b、c确定一个平面a，∵a⊥b，a⊥c，ba，ca，b∩c=P，∴a⊥a．④不正确是因为平行四边形的两组对边平行，若直线垂直于平行四边形的两条对边，不能确定直线与平行四边形所在平面垂直．若直线垂直平行四边形的两条邻边，则直线垂直于平行四边形所在的平面．  5．（1）正确．  （2）正确．  （3）正确．  （4）不正确．AB、CD可能不是从一个点出发的垂线段与斜线段，长度间无确定关系．  （5）不正确．理由同上．  6．60°．  7．（1）8条，其中相交垂直的有AB、AD、、四条，异面垂直的有BC、CD、、四条；  （2）4条，与垂直的平面有两个平面ABCD和平面，每个面上有两条对角线，即AC、BD、、；   （3）4条．∵BC⊥平面，∴，同理、、AD均与垂直；  （4）6条．是平面ABCD的一条斜线，∵⊥平面ABCD，∴BD为在平面ABCD内的射影．∵BD⊥AC，∴由三垂线定理，，即AC为平面ABCD内与垂直的唯一面对角线，正方体共有六个面，每个面有一条面对角线与异面垂直，所以一共有6条．  8．a、b可能平行、相交、异面（图略）．  9．如图9-27，∵△ABC是正三角形，D是BC中点，∴AD⊥BC，∵PA⊥AB，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC．∴AD是PD在平面ABC内的射影，∵AD⊥BC，根据三垂线定理，PD⊥BC，∴PD为P点到BC的距离．∵PA⊥平面ABC，AD平面ABC，∴PA⊥AD．在Rt△PAD中，AD是正三角形的高，∴，又∵PA=a，∴．  10．由PA=PC，故△PAC是等腰三角形，又O是AC中点，故PO⊥AC．因此可证PO⊥BD，又AC∩BD=O，因此PO⊥平面ABCD．