直线、平面垂直的判定及其性质

四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法直线、平面垂直的判定及其性质一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：l了解空间直线和平面的位置关系．l掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；进一步熟悉反证法的实质及其一般解题步骤．l通过探究线面平行定义、判定和性质定理及其应用，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力．l通过有关定理的发现、证明及应用，提高学生的空间想象力和类比、转化的能力，提高学生的逻辑推理能力．重点难点：l重点：直线与平面平行的判定、性质定理的应用；l难点：线面平行的判定定理的反证法证明，线面平行的判定和性质定理的应用．学习策略：l学习本知识点要依照学习目标，把握重点、难点，注意图形语言与符号语言之间的转化，弄清楚线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的关系．二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面的一条直线，则该直线与此平面平行．（二）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条与另一个平面平行，则这两个平面平行．（三）直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的与此平面的与该直线平行．（四）平面和平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面，那么它们的交线平行．17让更多的孩子得到更好的教育400-661-6666 四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。详细内容请参看网校资源ID：#tbjx5#296091知识点一：直线和平面垂直的定义与判定（一）直线和平面垂直定义如果直线和平面内的，我们就说直线与平面互相垂直，记作．直线叫平面的；平面叫直线的；垂线和平面的交点叫．要点诠释：（1）定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别．（2）直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式．（3）若，则．（二）直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的，则该直线与此平面垂直．符号语言：特征：线线垂直垂直要点诠释：（1）判定定理的条件中：“平面内的两条直线”是关键性词语，不可忽视．（2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要．17让更多的孩子得到更好的教育400-661-6666 四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法知识点二：斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面，但不和这个平面，这条直线叫做这个平面的斜线．过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过和的直线叫做斜线在这个平面内的射影．平面的一条斜线和它在平面上的所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．要点诠释：（1）直线与平面平行，直线在平面由射影是一条．（2）直线与平面垂直射影是．（3）斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的上．（4）一条直线垂直于平面，它们所成的角是角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是°的角．知识点三：二面角（一）二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个所组成的图形叫做二面角．这条直线叫二面角的，这两个半平面叫做二面角的．表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在内（棱以外的半平面部分）分别取点，将这个二面角记作二面角．如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或．17让更多的孩子得到更好的教育400-661-6666 四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法（二）二面角的平面角在二面角的棱上任取一点，以该点为，在两个半平面内分别作，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．知识点四：平面与平面垂直的定义与判定（一）平面与平面垂直定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面垂直．表示方法：平面与垂直，记作．画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图：  （二）平面与平面垂直的判定定理判定定理：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直．符号语言：图形语言：特征：线面垂直垂直要点诠释：17让更多的孩子得到更好的教育400-661-6666 四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为“线面垂直，则垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理垂直问题，进一步转化为处理垂直问题．以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线即可．知识点五：直线与平面垂直的性质（一）基本性质一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的．符号语言：图形语言：（二）性质定理垂直于同一个平面的两条直线．符号语言：图形语言：知识点六：平面与平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内的直线与另一个平面垂直．符号语言：图形语言：17让更多的孩子得到更好的教育400-661-6666 四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法经典例题——自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。更多精彩请参看网校资源ID：#jdlt0#296091类型一：直线和平面垂直的定义例1．下列命题中正确的个数是（）①如果直线与平面内的无数条直线垂直，则；②如果直线与平面内的一条直线垂直，则；③如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线；④如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直．A．0B．1C．2D．3举一反三：【变式1】（2010山东）在空间，下列命题正确的是A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行总结升华：．类型二：直线和直线、平面垂直的判定例2．（2011广东理18）如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60，,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点．（1）证明：AD平面DEF;（2）求二面角P-AD-B的余弦值．17让更多的孩子得到更好的教育400-661-6666 四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法总结升华：．举一反三：【变式1】如图所示，三棱锥的四个面中，最多有个直角三角形．总结升华：．【变式2】如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M．求证：CD⊥平面BDM．17让更多的孩子得到更好的教育400-661-6666 四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法类型三：直线和平面所成的角例3．如图所示，已知∠BOC在平面内，OA是平面的斜线，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=，BC=，求OA和平面所成的角．总结升华：17让更多的孩子得到更好的教育400-661-6666 四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法．举一反三：【变式1】（2011全国大纲19）如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)求与平面所成角的大小．【变式2】如图所示，在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是．类型四：二面角例4．如图所示，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△17让更多的孩子得到更好的教育400-661-6666 四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法BCD、△ABC都全等，且，，求以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角大小．总结升华：．举一反三：【变式1】已知D、E分别是正三棱柱的侧棱和上的点，且．求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成的二面角的大小．17让更多的孩子得到更好的教育400-661-6666 四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法总结升华：．类型五：平面与平面垂直的判定例5．在四面体ABCD中，，AB=AD=CB=CD=AC=，如图所示．求证：平面ABD⊥平面BCD．17让更多的孩子得到更好的教育400-661-6666 四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法总结升华：利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是（1）；（2）；（3）．举一反三：【变式1】如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD．总结升华：证面面垂直的方法：（1）；（2）．【变式2】如图所示，在Rt△AOB中，，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．D是AB的中点．求证：平面COD⊥平面AOB；17让更多的孩子得到更好的教育400-661-6666 四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法【变式3】过点P引三条长度相等但不共面的线段PA、PB、PC，有∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°，求证：平面ABC⊥平面BPC．类型六：综合应用例6．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：（1）DE=DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；（3）平面DEA⊥平面ECA．17让更多的孩子得到更好的教育400-661-6666 四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法总结升华：．例7．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：MN⊥CD；（3）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．思路点拨：要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线．注意到M、N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可．证明如下．17让更多的孩子得到更好的教育400-661-6666 四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法总结升华：．三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。总结规律和方法——强化所学认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。相关内容请参看网校资源ID：#tbjx20#296091。垂直关系的知识记忆口诀：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清，平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件，面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝，先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见，借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线，两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面，要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．成果测评现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试。知识点：直线与平面垂直、二面角及其平面角、两个平面垂直的判定与性质测评系统分数：模拟考试系统分数：如果你的分数在80分以下，请进入网校资源ID：#cgcp0#296091做基础达标部分的练习，如果你的分数在80分以上，你可以进行能力提升题目的测试。17让更多的孩子得到更好的教育400-661-6666 四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法自我反馈学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。我的收获习题整理题目或题目出处所属类型或知识点分析及注意问题好题错题注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。知识导学：直线、平面垂直的判定及其性质（ID：#296091）视听课堂：直线与平面垂直（ID：#22408）、平面与平面垂直（ID：#23383）17让更多的孩子得到更好的教育400-661-6666 四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法更多资源，请使用网校的学习引领或搜索功能来查看使用。对本知识的学案导学的使用率：□好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）□中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）□弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）学生：家长：指导教师：请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学。17让更多的孩子得到更好的教育400-661-6666