高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 练习

直线与平面垂直的判定和性质（二）  1．空间四边形ABCD的四条边相等，那么它的两条对角线AC和BD的关系是（ ）．  A．相交且垂直B．相交但不垂直  C．不相交也不垂直D．不相交但垂直  2．已知a、b是异面直线，那么经过b的所在平面中（ ）．  A．只有一个平面与a平行B．有无数个平面与a平行  C．只有一个平面与a垂直D．有无数个平面与a垂直  3．若直线l与平面a所成角为，直线a在平面a内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是（ ）．  A．B．  C． D．  4．直线a、b均在平面a外，若a、b在平面a上的射影是两条相交直线，则a和b的位置关系是（ ）．  A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．相交或异面直线  5．ABCD是平面a内的一个四边形，P是平面a外的一点，则△PAB、△PBC、△PCD、△PDA中是直角三角形的最多有（ ）．  A．1个B．2个C．3个D．4个  6．已知直线PG⊥平面a于G，直线EFa，且PF⊥EF于F，那么线段PE、PF、PG的关系是（ ）．  A．PE＞PG＞PFB．PG＞PF＞PE  C．PE＞PF＞PGD．PF＞PE＞PG  7．直线l是平面a的斜线，l在a内的射影为．若直线m⊥l，，则直线m和平面a的位置关系是（ ）．  A．maB．ma C．m∥aD．m∥a，或ma  8．下列命题中正确的是（ ）．  A．若a是平面a的斜线，直线b垂直于a在平面a内的射影为，则a⊥b  B．若a是平面a的斜线，平面b内的直线b垂直于a在平面a内的射影为，则a⊥b  C．若a是平面a的斜线，直线b平行于平面a，且b垂直于a在平面a内的射影，则a⊥b  D．若a是平面a的斜线，b是平面a内的直线，且b垂直于a在另一个平面b内的射影，则a⊥b  9．如图9-28，已知PE垂直于⊙O所在平面，EF是⊙O的直径，点G为圆周上异于E、F的一点，则下列结论中，不正确的是（ ）．A．FG⊥平面PEGB．PG⊥FG C．PF与平面PEG所成角为∠FPGD．EG⊥PF图9-28  10．设正方体的棱长为1，则  （1）A到的距离等于________；  （2）A到的距离等于________；  （3）A到平面的距离等于________；  （4）AB到平面的距离等于________．  11．已知正方体．则  （1）与平面ABCD所成的角等于________；  （2）与平面ABCD所成的角的正切值等于________；  （3）与平面所成的角等于________；  （4）与平面所成的角等于________；  （5）与平面所成的角等于________.  12．如图9-29，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点．求证：MN⊥AB． 图9-29  13．如图9-30，直线a、b是异面直线，它们所成角为30°，为a、b的公垂线段，．另有B在直线a上，且BA=2cm，求点B到直线b的距离．图9-30  14．如图9-31，SA、SB、SC三条直线两两垂直，点H是S在平面ABC上的射影，求证：H是△ABC的垂心．图9-31  15．如图9-32，△ABD和△ACD都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°．求证： 图9-32  （1）BD⊥平面ADC；  （2）若H是△ABC的垂心，则H为D在平面ABC内的射影．  16．PA、PB、PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角为60°，求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值．参考答案  1．D．取BD中点O，则BD⊥AO，BD⊥CO，故BD⊥平面ACO，因此BD⊥AC．  2．A．过b上任一点P作直线，由和b确定的平面a与a平行，这个平面是过b且平行于a的唯一一个平面．故排除B．当a与b不垂直时，假设存在平面b，使bb，且a⊥b，则a⊥b，这与a、b不垂直矛盾，所以当a、b不垂直时，不存在经过b且与a垂直的平面，当a、b垂直时，过b且与a垂直的平面是唯一的，设a、b的公垂线为c，则由c和b所确定的平面与a垂直，且唯一．  3．C．因为直线l是平面的斜线，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，故a与l所成的角大于或等于；又因为异面直线所成的角不大于，故选C．  4．D．  5．D．作矩形ABCD，PA⊥平面AC，则所有的三角形都是直角三角形．  6．C．如图答9-17．PG⊥a，EFa，PF⊥EF，则GF⊥EF．在Rt△PGF中，PF为斜边，PG为直角边，PF＞PG．在Rt△PFE中，PF为直角边，PE为斜边，PE＞PF，所以有PE＞PF＞PG．图答9-17  7．D．  8．C．如图答9-18，直线b垂直于a在平面a内的射影，但不能得出a⊥b的结论．排除A．令b是直线a与其在a内的射影确定的平面，在b内取垂直于的直线为b，不能得出a⊥b的结论．排除B．同理排除D．如图答9-19，在a内任取点P，∵，则过b与P确定平面g，设，因为b∥a，则．∵，∴．∴ ，∴b⊥a．于是C正确．图答9-18图答9-199．D．G是⊙O圆周上一点，则FG⊥EG．∵PE⊥平面EFG，∴PE⊥FG．  假设EG⊥PF，又∵EG⊥FG，∴FG⊥平面PFG．∴EG⊥PG．∵PE⊥EG，P、E、G共面，∴PE∥PG．这与PE，PG交于一点P矛盾，∴“EG⊥PF”不成立．10．（1）连接，AC，则，取的中点E，连结AE，则．∴AE为点A到直线的距离，在Rt△ACE中，，，∴，∴．即A到、C的距离等于．（2）连结．∵AB⊥平面，∴．在Rt△中，AB=1，，，设A到的距离为h，则．即，∴，即点A到的距离为．  （3）连结交于F，则．∵CD⊥平面，且AF平面，∴CD⊥AF．∵CD∩AD=D，∴AF⊥平面．∴AF为点A到平面的距离．∵，∴．  （4）∵AB∥CD，∴AB∥平面，∴AB到平面的距离等于A 点到平面的距离，等于．  11．（1）∵⊥平面ABCD，∴为与平面ABCD所成的角，=45°．  （2）∵⊥平面ABCD，∴为与平面ABCD所成的角．设，则，∴  （3）∵平面，，∴∥平面，∴与平面所成的角为0°．  （4）∵⊥平面，∴与平面所成的角为90°．  （5）连结AC，交AD于H．连结，∵⊥平面ABCD，CH平面ABCD，∴，又∵CH⊥BD，∴CH⊥平面．∴为在平面内的射影．∴为与平面所成的角．设正方体棱长为1，则，，∴，即与平面所成的角为30°．  12．连结AC，取AC中点O，连结OM，ON．由OM∥BC，得OM⊥AB．又NO∥PA，且PA⊥AB，故NO⊥AB．由此可得AB⊥平面OMN．因此MN⊥AB．  13．如图答9-作，则与b确定平面a．作于C，在平面a内作CD⊥b于D，连结BD．∵∴．∵，，∴．∵，∴BC⊥a．∵CD⊥b，∴BD⊥b（三垂线定理），即BD为B点到b的距离．∵，∴为异面直线a与b所成的角，∴．∵，，∴CD=1．在Rt△BCD中，，CD=1，∠BCD=90°，∴，∴． 图答9- 14．∵SC⊥SA，SC⊥SB，且SA∩SB=S，∴SC⊥平面SAB，∴AB⊥SC．∵H是S在平面ABC上的射影，∴SH⊥平面ABC．连结CH，CH为SC在平面ABC上的射影，∵AB⊥SC，由三垂线定理的逆定理可知CH⊥AB，即CH为AB的垂线．同理AH⊥BC，即AH为BC边的垂线．H为△ABC两条垂线的交点，∴H为△ABC垂心．  15．（1）设AD=BD=CD=a，则．∵∠BAC=60°，∴．由勾股定理可知，∠BDC=90°．即BD⊥DC，又∵BD⊥AD，AD∩DC=D，∴BD⊥平面ADC．  （2）如图答9-21，要证H是D在平面ABC上的射影，只需证DH⊥平面ABD．连结HA、HB、HC．∵H是△ABC的垂心，∴CH⊥AB．∵CD⊥DA，CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB．∵CH∩CD=C，∴AB⊥平面DCH．∵DH平面DCH，∴AB⊥DH，即DH⊥AB，同理DH⊥BC．∵AB∩BC=B，∴DH⊥平面ABC．图答9-21  16．如图答9-22，在PC上任取一点D，作DH⊥平面PAB于H，则∠DPH为PC与平面PAB所成的角．作HE⊥PA于E，HF⊥PB于F，连结PH，DE，DF．∵EH、FH分别为DE、DF在平面PAB内的射影，由三垂线定理可得DE⊥PA．DF⊥PB．∵∠DPE=∠DPF，∴△DPE≌△DPF．∴PE=PF．∴Rt△HPE≌Rt△HPF，∴HE=HF，∴PH是∠APB的平分线．设EH=a，则PH=2EH=2a，．在Rt△PDE中，∠DPE=60°，DE⊥PA，∴．在Rt△DPH中，DH⊥HP，PH=2a，，∴ 图答9-22