2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定点、直线、平面之间的位置关系
1．掌握直线与平面垂直的定义及判定定理，能灵活应用判定定理证明直线和平面垂直．2．知道直线与平面所成角的概念，并会求简单的角．
基础梳理1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的________直线都____________，就说直线l与平面α垂直，记作______；直线l叫做平面α的______；平面α叫做直线l的______；直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做______．(2)画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．(1)任意一条 垂直l⊥α垂线 垂面 垂足
(3)判定定理：文字描述，一条直线与一个平面内的____________都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表示：a⊂α，b⊂α，________，______，______⇒l⊥α.(3)两条相交直线a∩b＝Al⊥al⊥b练习1.如下图所示，PA⊥CD，ABCD是正方形，求证：CD⊥平面PAD.证明：因为PA⊥CD，又ABCD是正方形，所以AD⊥CD，又PA与AD相交，所以CD⊥平面PAD.
2．直线与平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但______，这条直线称为平面的______，斜线与平面的交点叫做______．过斜线上______________向平面引垂线，过______和______的直线叫做斜线在平面上的______．平面的一条斜线和它在平面上的______所成的______，叫做直线和平面所成的角，如图，______就是斜线AP与平面α所成的角．(1)不垂直 斜线 斜足 斜足以外的一点 斜足 垂足 射影 射影 锐角∠PAO
(2)特别的，当直线AP与平面α垂直时，它们所成的角是________；当直线与平面平行，或在平面内时，它们所成的角是______．(3)直线和平面所成角θ的范围__________．练习2.直线与平面不垂直时，能否在平面内找到两条直线与这条直线垂直？练习3.两条直线垂直就一定相交吗？(2)90°0°(3)[0°，90°]练习2.能练习3.错
思考应用1．“两条平行直线能确定一个平面，一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则这条直线也垂直于这个平面”这个结论对吗？解析：不正确．实际上，由公理4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内的平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直．2．异面直线所成的角的定义及范围是什么？解析：异面直线所成的角是通过作平行线得到的，即异面直线a与b所成的角，在空间中任取一点O，过O作a′∥a，b′∥b，则a′与b′的夹角就是a与b所成的角，其范围为(0°，90°]．
自测自评1．已知a，b是直线，α是平面，则下列命题中正确的是()A．a⊥α，a⊥b⇒b∥αB．a⊥b，a∥α⇒b⊥αC．a∥b，b∥α⇒a∥αD．a⊥α，a∥b⇒b⊥α2．若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面()A．有且只有一个B．可能存在，也可能不存在C．有无数多个D．一定不存在D解析：当l1⊥l2时，过l1且与l2垂直的平面有一个，当l1与l2不垂直时，过l1且与l2垂直的平面不存在．答案：B
3．如果直线l和平面α内的两条平行线垂直，那么下列结论正确的是()A．l⊂αB．l与α相交C．l∥αD．都有可能4．已知a，b是异面直线，下列结论不正确的是()A．存在无数个平面与a，b都平行B．存在一个平面与a，b等距离C．存在无数条直线与a，b都垂直D．存在一个平面与a，b都垂直DD
5．三条直线两两垂直，下列四个命题：①三条直线必共点；②其中必有两条直线是异面直线；③三条直线不可能在同一平面内；④其中必有两条直线在同一平面内．其中真命题的序号是________．解析：两条直线垂直不一定相交，只有③正确．答案：③
直线和平面垂直的判定定理如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.分析：要证线面垂直，根据线面垂直的判定定理需证线线垂直，已知AN⊥PM，只需在平面PBM中再找一条与PM不平行的直线与AN垂直即可．
证明：设圆O所在的平面为α，∵PA⊥α，且BM⊂α，∴PA⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．故AN⊥平面PBM.点评：判定定理需要五个条件，缺一不可，判定定理实质是把证线面垂直转化为证线线垂直问题来处理．
跟踪训练1．如图，在三棱锥PABC中，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AB，求证：BC⊥平面PAB.证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵BC⊥AB，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.
直线与平面所成的角如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．(1)求证：PB⊥DM；(2)求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．
解析：(1)证明：∵N是PB的中点，PA＝AB，∴AN⊥PB.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.又BA⊥AD，PA∩BA＝A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB.又∵AD∩AN＝A，从而PB⊥平面ADMN.∵DM⊂平面ADMN，∴PB⊥DM.
(2)如图，取AD的中点G，连接BG、NG，则BG∥CD.∴BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等．∵PB⊥平面ADMN，∴∠BGN是BG与平面ADMN所成的角．在Rt△BGN中，sin∠BGN＝＝.故CD与平面ADMN所成角的正弦值为.点评：求斜线与平面所成的角要注意：一作，二证，三求三个步骤．
跟踪训练2．已知：如图，MA⊥平面ABC，Rt△BMC中，斜边BM＝5，∠MBC＝60°，AB＝4，求MC与平面CAB所成角的正弦值．解析：∵MA⊥平面ABC，∴AC为MC在平面CAB内的射影．∴∠MCA为直线MC与平面CAB所成的角．又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
直线和平面垂直的应用如图：在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA＝AB＝2.(1)证明：BC⊥平面AMN；(2)求三棱锥NAMC的体积；(3)在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由．
解析：(1)证明：因为ABCD是菱形，所以AB＝BC.又∠ABC＝60°，所以AB＝BC＝AC，又M为BC中点，所以BC⊥AM.而PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.又PA∩AM＝A，所以BC⊥平面AMN.(2)因为S△AMC＝AM·CM＝又PA⊥底面ABCD，PA＝2，所以AN＝1.所以，三棱锥N—AMC的体积V＝S△AMC·AN＝
(3)存在．取PD中点E，连接NE，EC，AE，因为N，E分别为PA，PD中点，所以NE綊AD，又在菱形ABCD中，CM綊AD，所以NE綊MC，即MCEN是平行四边形，所以，NM∥EC，又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，此时PE＝PD＝.
跟踪训练3．已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面为菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.(1)证明：C1C⊥BD；(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？并证明这个结论．解析：证明：(1)连接A1C1、AC，AC与BD交于点O，连接C1O，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD，
又∵∠C1CB＝∠C1CD，C1C为公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B＝C1D.又∵DO＝OB，∴C1O⊥BD，又∵AC⊥BD，AC∩C1O＝O，∴BD⊥平面AC1C，又∵C1C⊂平面AC1C，∴C1C⊥BD.(2)当＝1时，能使A1C⊥平面C1BD，证明如下：由(1)知，BD⊥平面AC1C.∵A1C⊂平面AC1C，∴BD⊥A1C.当＝1时，四棱柱的六个面全都是菱形，同BD⊥A1C的证法可得BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面C1BD.
1．下列说法中错误的是()①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线．A．①②B．②③④C．①②④D．①②③解析：由线面垂直的判定定理可得①②③错误．答案：D
2．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是()A．(0°，90°)B．[0°，90°]C．[0°，180°]D．[0°，180°)B
1．直线和平面垂直的判定定理可简化为“线线垂直，则线面垂直”．这里的“线线”指的是“一条直线和平面内的两条相交直线”；“线面”则是指这条直线和两条相交直线所在的平面．判定定理告诉我们，要证明直线和平面垂直，只需在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直，这是关键．2．判定线面垂直的两种方法：(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理．
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