高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 学案

直线与平面垂直的判定学案学习目标1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用；3.理解直线与平面所成的角的概念，会求直线与平面所成的角.【先学自研】一、知识梳理探究1：直线和平面垂直的概念问题：（1）如图，将三角板直立起来，并且让它的一条直角边落在桌面上，观察边与桌面的位置关系呈什么状态？（2）绕着边转动三角板，边与始终垂直吗？在转动的过程中，把看作桌面上不同的直线，你能得出什么结论吗？新知1：（概念）如果直线与平面内的直线都垂直，就说直线与平面互相垂直，记做.叫做垂线，叫垂面，它们的交点叫垂足.（如图所示.）反思：⑴如果直线与平面内无数条直线都垂直，那么它和这个平面垂直吗？⑵用定义证明直线和平面垂直好证吗？你感觉难在哪里？探究2：直线与平面垂直的判定定理问题：如图，将一块三角形纸片沿折痕折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(与桌面接触).观察折痕与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕与桌面垂直呢？结论：当且仅当折痕是边上的高时，所在的直线与桌面所在的平面垂直.如图所示.反思：⑴折痕与桌面上的一条直线垂直时，能判断垂直于桌面吗?⑵如图，当折痕时，翻折后,即.由此你能得出什么结论? 新知2：（判定定理）文字表述：，则该直线与此平面垂直.图形表示：符号表示：已知：正方体AC1。求证：AC平面BB1D1D.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心.求证：（1）BD⊥平面AC1（2）A1O⊥平面GBD. 探究3：直线与平面所成的角新知3：(斜线、斜足、射影、斜线和平面所成的角)如图，斜线：直线和平面相交但不垂直，叫做平面的斜线，斜足：和平面的交点叫斜足；射影：，叫做斜线在平面上的射影.斜线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角.直线与平面所成的角（1）如图，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．（2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求（1）A1B与平面AB1C1D所成的角．（2）A1B与平面A1B1CD所成的角． 二、课后练习1、如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.2、如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，M是圆周上异于A、B的一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.3、如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是________.                  小结：1、直线与平面垂直的判定方法定义定理推论2、直线与平面所成的角 1.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点．PMBCDAN(1)求证：MN⊥CD；(2)若PDA＝45°，求证：MN⊥面PCD．2.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．(1)求证：BC′⊥平面AC′D；(2)求直线AB与平面BC′D所成角的正弦值．3.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝    时，CF⊥平面B1DF.（选作）