直线平面垂直的判定及其性质

直线、平面垂直的判定及其性质 定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则称直线l和平面互相垂直。A直线与平面垂直的定义：直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，惟一的公共点A叫做垂足 直线与平面垂直的判定：lmnaaabaAB 直线与平面垂直的性质：lanlalmna 练习1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A练习2.若P是平面α外一点,则下列命题正确的是()A.过P只能作一条直线与平面α相交B.过P可作无数条直线与平面α垂直C.过P只能作一条直线与平面α平行D.过P可作无数条直线与平面α平行D O二面角及有关的概念二面角:从一条棱出发的两个半平面所组成的图形,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面AB二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．范围：00≤θ≤1800.HMN定义法 垂线法AHMABC 平面与平面垂直定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,则称这两个平面互相垂直画法: 判定定理:一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直aCABABCD 性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直aAB 练习3.（2009·广东理，5）给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④D 练习4.（2008·湖南文，5）已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则()A.n⊥βB.n∥β，或nβC.n⊥αD.n∥α,或nαD练习5.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面.①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β；③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ.正确的命题是()A.①③B.②③C.①④D.②④C 类型一：线面垂直的判定与性质 证明（1）连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴AN=BN，∴△ABN为等腰三角形，又M为底边AB的中点，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD. (2)连接PM、CM,∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，∴PA=BC.又∵M为AB的中点，∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD. 知能迁移1Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC，D为斜边AC中点.（1）求证：SD⊥面ABC；（2）若AB=BC，求证：BD⊥面SAC. 故DE∥BC，在△SAC中，∵SA=SC，D为AC中点，∴SD⊥AC.∵SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,∴SD⊥面ABC.（2）若AB=BC，则BD⊥AC，由（1）可知，SD⊥面ABC，而BD面ABC，∴SD⊥BD，∵SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,∴BD⊥面SAC.证明（1）如图所示，取AB中点E，∴AB⊥面SDE.而SD面SDE，∴AB⊥SD.连结SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，且DE⊥AB,∵SA=SB，∴SE⊥AB.∵SE⊥AB，∴△SAB为等腰三角形，DE⊥AB，SE∩DE=E， ABCDHE练习7 例2：如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8，AB=2DC=4.(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积.类型二：面面垂直的判定与性质 (1)证明在△ABD中,∵AD=4,BD=8,AB=4,在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC，∴四边形ABCD为梯形.在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为此即为梯形的高.又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO=∴PO⊥面ABCD，(2)解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高.又BD面BDM，∴面MBD⊥面PAD.面PAD∩面ABCD=AD，BD面ABCD，∴BD⊥面PAD.又∵面PAD⊥面ABCD，∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD. 知能迁移2在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M,若AM=MA1,求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C. （2）延长B1A1与BM交于N，连结C1N.∵AM=MA1，∴NA1=A1B1.∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1.∵截面NB1C1⊥侧面BB1C1C，面NB1C1∩面BB1C1C=C1B1，∴C1N⊥侧面BB1C1C.∵C1N面C1NB，∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C.即截面MBC1⊥侧面BB1C1C.∵CC1面BB1C1C，∴AD⊥CC1.∴C1N⊥C1B1∴AD⊥侧面BB1C1C.面ABC∩面BB1C1C=BC，∵底面ABC⊥平面BB1C1C，证明(1)∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC. 斜线与平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角AOB 当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是90°当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成的角是0° 斜线与平面所成的角（0°,90°）直线与平面所成的角[0°,90°]异面直线所成的角（0°,90°] 最小角定理OBAC平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，是这条斜线和平面内任一条直线所成的角中最小的角。空间角之间的联系 QPABC1B1A1D1DCFE类型三：线面角的求法 例4：如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD,PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.（1）求证：PB⊥DM；（2）求BD与平面ADMN所成的角.类型三：线面角的求法 在Rt△BDN中，∴∠BDN=30°,即BD与平面ADMN所成的角为30°∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角，∵PB⊥平面ADMN，（2）解连接DN，∵DM平面ADMN，∴PB⊥DM.又∵AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN.∵PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.∴AN⊥PB.∵∠BAD=90°，∴AD⊥AB.（1）证明∵N是PB的中点，PA=AB， 知能迁移3如图所示，四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点.求：（1）BC与平面SAB所成的角；（2）SC与平面ABC所成的角的正切值.解（1）∵SC⊥SB，SC⊥SA，SB∩SA=S，∴SC⊥平面SAB，∴BC在平面SAB上的射影为SB.∴∠SBC为BC与平面SAB所成的角.又∠SBC=60°,故BC与平面SAB所成的角为60°. ∴平面SMC⊥平面ABC.∵平面ABC过点S作SO⊥MC于点O，∴SO⊥平面ABC.∴∠SCM为SC与平面ABC所成的角.由（1）知SC⊥平面SAB，又平面SAB，∴SC⊥SM，∴△SMC为直角三角形.设SB=a，.即SC与平面ABC所成的角的正切值为∴AB⊥平面SMC，由（1）知AB⊥SC，AB∩SM=M，∴SM⊥AB，∴△ASB为等腰直角三角形，∠SBA=45°，（2）连结MC，在Rt△ASB中， 例5：如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，PA=PB=PC=，AC=2，AB=，BC=.（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）求二面角P—AB—C的正切值大小.类型四：二面角的求法 （1）证明连结BD，∵D是AC的中点，PA=PC=，∴PD⊥AC.∵AC=，AB=，BC=，∴AB2+BC2=AC2.∴∠ABC=90°，即AB⊥BC.∵PD2=PA2-AD2=3，PB=，∴PD2+BD2=PB2.∴PD⊥BD.∵AC∩BD=D，∴PD⊥平面ABC. （2）解取AB的中点E，连结DE、PE，由E为AB的中点知DE∥BC，∵AB⊥BC，∴AB⊥DE.∵PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB.又AB⊥DE，DE∩PD=D，∴AB⊥平面PDE，∴PE⊥AB.∴∠PED是二面角P—AB—C的平面角.在△PED中，∠PDE=90°,∴二面角P—AB—C的正切值为. 知能迁移4如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是直角梯形，PA⊥平面ABCD，且AD∥BC，AD⊥DC,△ADC和△ABC均为等腰直角三角形,设PA=AD=DC=a，点E为侧棱PB上一点，且BE=2EP.（1）求证：平面PCD⊥平面PAD；（2）求证：直线PD∥平面EAC；（3）求二面角B—AC—E的余弦值. （1）证明∵PA⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴DC⊥PA.又∵AD⊥DC，且PA与AD是平面PAD内两相交直线，∴DC⊥平面PAD.又∵DC平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD.在等腰直角△ADC中，∵AD⊥DC， 又∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC=又∵EF平面EAC，PD平面EAC，∴直线PD∥平面EAC.又∵BE=2EP，∴PD∥EF.∵BC∥AD且BC=2AD，∴BF=2FD.由AD=DC=a，易知AB=AC=a，BC=2a，（若∠B为直角，则与底面ABCD是直角梯形相矛盾）.又∵△ABC为等腰直角三角形，且底面ABCD是直角梯形，（2）证明连结BD，设BD与AC相交于点F，连结EF，在等腰直角△ADC中，∵AD⊥DC， （3）解过点E作EH∥PA交AB于H点，则EH⊥平面ABCD，又∵AB⊥AC，∴EA⊥AC.∴∠EAH为二面角B—AC—E的平面角.∵BE=2EP，即二面角B—AC—E的余弦值为. 例6：如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.AFGDCBEH（1）求证：FD∥平面ABC；（2）求证：AF⊥BD；（3）求二面角B—FC—G的正切值.