高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 课件

2.3.1直线与平面垂直的判定与性质 复习：直线与平面的位置关系有哪几种？线面位置关系线在面内线面平行线面相交斜交垂直 实例引入旗杆与底面垂直 大桥的桥柱与水面垂直实例引入 万丈高楼平地起线面垂直最重要实例引入 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．你能发现旗杆所在直线与它的影子所在直线的位置关系吗？实例感受AαBB1C1CB旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直．与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直．直线垂直于平面内的任意一条直线． 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作．平面的垂线直线l的垂面垂足一、直线与平面垂直的定义 线面垂直的定义常这样使用简记：线面垂直，则线线垂直l^a 如果直线l与平面α内的两条直线垂直，能保证l⊥α吗？如果直线l与平面α内的一条直线垂直，能保证l⊥α吗？思考αb BAC如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？思考 BAC如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？不一定思考 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。即：mαnαm∩n=Bl⊥ml⊥nl⊥αAmnB简记：线线垂直，则线面垂直关键：线不在多，相交则行二、线面垂直的判定定理 巩固练习判断下列命题是否正确,正确的在()内打“√”错的打“×”（4）若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内没有与这条直线垂直的直线。()（1）若一条直线与一个三角形的两条边垂直,则这条直线垂直于三角形所在的平面。()（2）若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面。（）（3）若一条直线与一个梯形的两腰垂直，则这条直线垂直于梯形所在的平面。（）√××√ abα两条互相平行的直线，如果有一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。已知：a//b，a⊥α求证：b⊥αmn例1:定理应用 例2:如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PCPB=PD.求证：PO⊥平面ABCDCABDOP=ABCDPOOBDAC平面又^\IQBDPOBDOPDPB的中点是点又^\=Q,ACPOACOPCPA的中点是点证明^\=Q, 例2：一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条直线上）．如果这两点与旗杆脚距6m，那么旗杆就与地面垂直．为什么？BAPO解：如图，旗杆PO=8m，两绳长PA=PB=10m，OA=OB=6m.因为A，O，B三点不共线，所以A，O，B三点确定平面．又因为所以又因为:所以:因此，旗杆OP与地面垂直．定理应用 1、如图，在三棱锥V—ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC。VABCo.巩固练习 ABCD证明：E2.在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：对角线ACBD。CEAEEBD,,,连接的中点取ACBDACEAC^\Ì,平面Q=Ç`ACEBDECEAE^\,,平面又QBDCEDCBC^\=,,QBDAEADAB^\=,,Q PABCO3.如图，圆O所在一平面为，AB是圆O的直径，C在圆周上,且PAAC,PAAB,求证：（1）PABC（2）BC平面PAC 练习2:已知，于，于，于点，求证：． 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中(1).求证:C1D1A1B1ABCD(2).在三棱锥C1-BDC中有几个直角三角形？(3).在四面体中能否存在四个直角三角形?巩固练习 答：四个全部都是关键：发现并证明BC平面PAC∟巩固练习 （1）利用定义；（2）利用判定定理．2．数学思想方法：转化的思想空间问题平面问题知识小结1．直线与平面垂直的判定线线垂直线面垂直垂直与平面内任意一条直线 如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A1C⊥B1D1？作业A1B1C1D1 2.3.3直线与平面垂直的性质 1.直线和平面垂直的定义如何？如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.αA复习回顾 2.直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。线线垂直线面垂直图形表示符号表示 如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1,BB1,CC1,DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？AA1BCDB1C1D1新知探究 记直线b和α的交点为o,则可过o作b’∥a.一、线面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行αabo证明：假设a与b不平行.∴b’⊥α.∴过点o的两条直线b和b’都垂直平面α,这不可能!b’已知:a⊥α,b⊥α,求证:a//b∵a⊥α,∴a∥b. 1.判断下列命题是否正确：①平行于同一条直线的两条直线互相平行;②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.正确的是：①④2.若a,b表示直线,表示平面，下列命题正确的是。(3)(4)巩固练习 ①m与n相交,则a∥b，3请在下面的横线上填上适当的条件,使结论成立。②m与n异面③m与n不平行①巩固练习 4如图，已知于点A，于点B，求证：.ABCαβla 5直线a，b分别在正方体的两个不同面内，要使a//b，a，b应满足什么条件？相邻面内：相对面内：课本P71练习a,b与相邻面的交线平行a,b为第三个平面与这两个相对面的交线 2.数学思想转化空间问题平面问题1.知识方法小结①线面垂直的性质定理及其应用②反证法③类比探究，逆向探究垂直关系平行关系线面关系线线关系 如图,点Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是点P到平面 的垂线段pQ过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影；这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。１.垂线、斜线、射影(１)垂线点P在平面内的射影线段PQ二、直线和平面所成的角 （2）斜线一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线．斜线和平面的交点叫做斜足。从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段PR 说明：平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条思考：平面外一点到一个平面的垂线段有几条？斜线段有几条？PRQST 如图：＿＿＿＿是斜线AC在 内的射影，线段BC是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ACB过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影．(３)射影直线BC斜线段AC在 内的射影 ACBFE说明：斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。思考：斜线上的一个点在平面上的射影会在哪呢？ 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。2.直线和平面所成角的定义ABO ①一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；②一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角。说明：③直线和平面所成角的范围是[0，] AlBODl是平面的斜线，点O是斜足，A是l上任意一点，AB是平面的垂线，B是垂足，直线OB是l在内的射影，∠AOB(记作θ）是l与平面所成的角.θ与∠AOD的大小关系如何？COD是内不同于OB的任一直线，过点A引AC垂直于OD，垂足为C. AlBODθ与∠AOD的大小关系如何？在Rt△AOB中，在Rt△AOC中，∵AB＜AC，∴sinθ＜sin∠AOD∴θ＜∠AOD拓展：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内任意的直线所成的一切角中最小的角。C定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 例1.如图，AO是平面π的斜线，AB⊥平面π于B，OD是π内不与OB重合的直线，∠AOB=，∠BOD=，∠AOD=，求证：cos=coscosABODC 例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面BB1D1D所成的角