《直线与平面垂直的判定与性质》进阶练习 (三)

《直线与平面垂直的判定与性质》进阶练习一、选择题1.如图甲所示，在正方形ABCD中，EF分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图乙所示，那么，在四面体A-EFH中必有（  ）A.AH⊥△EFH所在平面        B.AG⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面        D.HG⊥△AEF所在平面2.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（  ）A. B. C. D.3.已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（  ）A.若m∥n，m∥α且n∥β，则α∥βbB.若m⊥n，m∥α且n∥β，则α⊥βbC.若m∥α且n⊥m，则n⊥αD.若m⊥n，m⊥α且n⊥β，则α⊥β 二、解答题4.如图，已知四棱柱ABD-A1B1C1D1的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，侧棱AA1⊥底面ABCD，E是CD的中点，CD=2AB=2AD，AD=1，AA1=．（Ⅰ）求证：EA1⊥平面BDC1；（Ⅱ）求二面角D-BC1-D1的余弦值．5.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且PD=AD，点E和点F分别是PB和CD的中点，PH为△PAD中AD边上的高．(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)证明：平面PBF⊥平面PAB． 参考答案【参考答案】1.A    2.A    3.D    4.证明：由已知DA，DD1，DC两两垂直，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图，则D（0，0，0），E（0，0，1），A1（1，，0），B（1，0，1），C1（0，，2），D1（0，，0），（Ⅰ）=（1，，-1），=（1，0，1），=（0，，2）∵•=，∴⊥，即EA1⊥DC1，∵DB∩DC1=D，∴EA1⊥平面BDC1，（Ⅱ）设平面BD1C1的法向量为=（x，y，z），∵，=（0，0，2），∴由，令x=，则y=1，z=0，则=（，1，0），由（Ⅰ）知，EA1⊥平面BDC1，∴=（1，，-1）是平面BDC1的一个法向量，∴cos＜，＞===，由图知二面角D-BC1-D1为锐角，∴二面角D-BC1-D1的余弦值是．5.证明：(1)∵AB⊥面PAD，PH⊂面PAD，∴AB⊥PH，又∵PH⊥AD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，AB∩AD=A，∴PH⊥平面ABCD；(2)取PA中点G，连接DG，GE，又∵，∴GE=DF且GE∥DF，即四边形DGEF为平行四边形，∴EF∥DG，∵DP=DA∴DG⊥PA，又∵AB⊥平面PAD，DG⊂平面PAD∴AB⊥GD，又∵PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴DG⊥平面PAB，∵DG∥EF，∴EF⊥平面PAB，又∵EF⊂平面PBF∴平面PBF⊥平面PAB．【解析】1.解：根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，A正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴B不正确；∵AG⊥EF，EF⊥AH，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；∵HG不垂直于AG，∴HG⊥平面AEF不正确，D不正确．故选：A．本题为折叠问题，分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得HA、HE、HF三者相互垂直，根据线面垂直的判定定理，可判断AH与平面HEF的垂直．本题考查直线与平面垂直的判定，一般利用线线⇔线面⇔面面，垂直关系的相互转化判断．2.解：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”设AB的中点为N，根据题目条件可知△PAN≌△CBN∴PN=CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”故动点M的轨迹肯定过点D和点N而到点P与到点N的距离相等的点为线段PC的垂直平分面线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线故选A先找符合条件的特殊位置，然后根据符号条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线得到结论．本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及公理二等有关知识，同时考查了空间想象能力，推理能力，属于基础题3.解：A．若m∥n，m∥α且n∥β，则α∥β或α与β相交．故A错误，B．若m⊥n，m∥α且n∥β，则α⊥β或α与β相交．故B错误，C．若m∥α且n⊥m，则n⊥α或n∥α或n⊂α，故C错误，D．若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，若n⊥β，则α⊥β，故D正确，故选：D根据线面平行和垂直，面面平行和垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．本题主要考查空间直线和平面之间平行或垂直的判定，根据相应的判定定理是解决本题的关键．4.（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明EA1⊥平面BDC1；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角D-BC1-D1的余弦值．本题考查线线垂直，考查二面角的平面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，建立坐标系是解决本题的关键．5.(1)根据AB⊥面PAD结合线面垂直的性质可得AB⊥PH，结合PH为△PAD中AD边上的高及线面垂直的判定定理，可得PH⊥平面ABCD； (2)取PA中点G，连接DG，GE，可证得四边形DGEF为平行四边形，根据等腰三角形三线合一可得DG⊥PA，再由(1)中结论及线面垂直的判定定理可证DG⊥平面PAB，由线面垂直的第二判定定理可得EF⊥平面PAB，最后由面面垂直的判定定理得到答案．