高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 进阶练习 (一)

《直线与平面垂直的判定与性质》进阶练习一、选择题.巳知，是直线，α是平面，则下列结论中正确的是（  ）⊥α，⊥⇒∥α       ⊥，∥α⇒⊥∥，∥α⇒∥α       ⊥α，∥⇒⊥α.设为两条不同的直线，为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（）.若与所成的角相等，则 .若，，则 .若，，则 .若，，则.点是△所在平面外一点，、、两两垂直，且⊥平面于点，则是△的（  ）.外心    .内心    .垂心    .重心二、解答题.(本小题满分分)如图，在正三棱柱中，点在棱上，，点，分别是，的中点．()求证：；()求证：平面．.如图，在棱长均为的直三棱柱中，是的中点．（）求证：⊥平面；（）求直线与面所成角的正弦值． 参考答案【参考答案】            .证明：（）∵侧棱与底面垂直，∴⊥平面，又∵⊂平面，∴⊥，∵⊥，∩，∴⊥平面，∵⊂平面，∴⊥；（）连接交于点，连接∵四边形是矩形，∴为的中点，由（）知为棱的中点，∴在△中，有∥，又∵、分别是，的中点，∴∥， ∴∥又∵⊄平面，⊂平面，∴∥平面..证：（）直三棱柱中，⊥面；∴⊥，又∵，是的中点；∴⊥，∩；∴⊥平面；（）连接，由（）⊥平面；则∠即为直线与面所成角；在直角△中，，，；即直线与面所成角的正弦值为．【解析】.解：、⊥α，⊥⇒∥α或⊂α，故不正确；、⊥，∥α⇒⊥α，也可能与α不垂直，故错误；、∥，∥α⇒∥α，若⊂α，则结论不成立，故错误；、⊥α，∥⇒⊥α，满足直线与平面垂直的判定定理，故正确；故选．根据直线与平面平行的判断定理及其推论对、、、四个选项进行一一判断；此题考查直线与平面平行与垂直的判断定理的应用，这些知识要熟练掌握．.本题考查了空间中的线面以及面面关系包括空间线面、面面垂直的判定与性质，线面、面面平行的判定与性质等.对于，直线与还可以相交，故不正确；对于，直线还可以在平面内，故不正确；对于，两条直线还可以相交，异面，故不正确；故选..证明：连结并延长，交与连结并延长，交与；因⊥，⊥，故⊥面，故⊥；因⊥面，故⊥，故⊥面，故⊥即⊥；同理：⊥；故是△的垂心．故选：．点为△所在平面外一点，⊥平面，垂足为，从而证得⊥、⊥，符合这一性质的点是△垂心．本题是立体几何中一道证明题，考查了线面垂直的定义与三角形的全等．.本题考查线面平行，考查面面垂直，解题的关键是正确运用线面平行，面面垂直的判定定理，属于中档题.（）证明⊥，利用∩，推出⊥平面，然后证明⊥；（）证明∥平面，利用线面平行的判定，只需证明∥即可..（）直三棱柱的侧棱和底面垂直，从而可得到⊥，并且⊥，从而由线面垂直的判定定理可得到⊥平面；（）连接，从而可得到∠为直线和平面所成角，在△中，容易求出，，从而∠． 考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，以及线面角的定义，正弦函数的定义．