2.3直线、平面垂直的判定及其性质.

直线、平面垂直的判定及其性质2.3 主要内容2.3.2平面与平面垂直的判定2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.1直线与平面垂直的判定2.3.4平面与平面垂直的性质 直线与平面垂直的判定2.3.1 直线和平面的位置关系复习1直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行 旗杆与地面的位置关系观察 线面垂直大桥的桥柱与水面的位置关系 思考1直线和平面垂直旗杆与地面中的直线的位置关系如何？ 将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？思考2 思考3一条直线与一平面垂直的特征是什么？特征：直线垂直于平面内的任意一条直线．BAC 直线和平面垂直如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直.定义平面的垂线直线l的垂面垂足平面内任意一条直线 1.如果一条直线l和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线l和平面α互相垂直（）思考：BCl线面垂直　　　　线线垂直定义直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α中的任意一条直线 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）．（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直．探究 当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直． （1）有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面，你同意他的说法吗？（2）如图，由折痕，翻折之后垂直关系不变，，．由此你能得到什么结论？思考5 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．直线与平面垂直判定定理判定定理线线垂直　　　线面垂直 例1.如图，已知，求证根据直线与平面垂直的定义知又因为所以又是两条相交直线，所以证明：在平面内作两条相交直线m，n．因为直线， 已知：正方体中，AC是面对角线，BD'是与AC异面的体对角线.求证：AC⊥BD'ABDCA′B′CD′′ 证明：连接BD在正方体ABCD-A'B'C'D'中DD′⊥平面ABCD又因为所以因为AC、BD为正方形ABCD的对角线所以AC⊥BD因为DD'∩BD=D所以AC⊥平面D'DB所以AC⊥BD'ABDCA′B′C′D′ AVBCK练习：如图,在三棱锥V-ABC中,VA＝VC,AB＝BC,求证：AC⊥VB． 前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直线与平面不垂直时情况怎么样呢？问题提出 直线与平面所成的角 线面角相关概念αP斜线PA与平面所成的角为PABl平面的斜线A斜足A斜线PA在平面内的射影垂足BB平面的垂线 1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角2.平面的垂线与平面所成的角为直角3.一条直线与平面平行或在平面内，则这条直线与平面所成的角的00角一条直线与平面所成的角的取值范围是 例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.D1ABA1CB1C1DO 直线与平面垂直的判定定理“线线垂直，则线面垂直”小结一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 小结1.直线与平面的位置关系可以用直线与平面所成的角来度量.线面垂直和线面平行是特殊情况.2.斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线所成角中最小的角.3.求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在平面内的射影. 平面与平面垂直的判定2.3.2 卫星轨道面地球赤道面 概念直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线.平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面.半平面半平面射线射线 概念从一点出发的两条射线，构成平面角.同样,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.m记为：二面角-m-记作AOBABO AB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCD5二面角的认识 二面角的记号（1）以直线为棱，以为半平面的二面角记为：（2）以直线AB为棱,以为半平面的二面角记为：AB..QPP-AB-Q 如何用平面角来表示二面角的大小？探究lαβOABlαβOAB二面角-l- 二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角∠AOB即为二面角α-AB-β的lαβOAB 注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上.（2）角的两边分别在两个面内.（3）角的边都要垂直于二面角的棱. 二面角的取值范围0度角180度角lαβ00~1800 例1.在正方体中，找出二面角C1-AB-C的平面角，并指出大小. 寻找二面角的平面角在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.BACDA’B’C’D’ BACDA’B’C’D’寻找二面角的平面角在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A. 寻找二面角的平面角BACDA’B’C’D’O寻找二面角的平面角正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A. 定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.αβaAb记为 问题：如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？ 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．αβaA平面与平面垂直的判定线面垂直面面垂直线线垂直 例3如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.PABCOα 证明:PABCOα 练习1：教材P69探究已知，AB┴平面BCD,BC┴CD(1)四个面的形状如何？(2)有哪些直线与平面垂直？有哪些平面与平面垂直？ACDABCDAB┴平面BCDCD┴平面ABC平面ABC┴平面BCD平面ABC┴平面ADC平面ABD┴平面BCD 直线与平面垂直的性质2.3.3 直线与平面垂直的判定定理是什么？复习直线与平面垂直的定义是什么？ 直线和平面垂直如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直.定义平面的垂线直线l的垂面垂足平面内任意一条直线 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．直线与平面垂直判定定理判定定理线线垂直　　　线面垂直 思考1如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那么直线a，b的位置关系如何？ablablabl相交平行异面 思考2如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？AA1BCDB1C1D1 思考3如果直线a，b都垂直于平面α，那么a与b一定平行吗？ 垂直于同一个平面的两条直线平行直线与平面垂直的性质定理 直线与平面垂直b’Oabαc性质定理的证明反证法证明：提假设，推矛盾，得结论已知，a┴α,b┴α.求证：a//bβ 例1如图，已知于点A，于点B求证：.ABαβlaC 作业P71练习1，2P73习题B组1，2 平面与平面垂直的性质2.3.4 1、平面与平面垂直的定义2、平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。符号表示：b两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。复习1 复习2αβlαβlγ两个平面相互垂直三个平面两两垂直 1.黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？αβ思考？ 思考？2.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？AA1BCDB1C1D1 3.设，,垂足为B，那么直线AB与平面的位置关系如何？为什么？αβABDCE思考？ 两个平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.面面垂直线面垂直αβal 若α⊥β，过平面α内一点P作平面β的垂线a，那么垂线a与平面α具有什么样的位置关系?bαβP思考？a注意：过一点只能作一条直线垂直于已知平面. 结论BαβA如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线，必在这个平面内. 例4.如图，已知α⊥β，a⊥β，a，试判断直线a与平面α的位置关系，并说明理由.αβbal αβba解：设l在α内作直线b⊥l P73A5αβlγabmn解：设在α内作直线a⊥n在β内作直线b⊥m 练习P691作业P733,4