高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 课件

2．3.1直线与平面垂直的判定 要点一直线与平面垂直的有关概念直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质．是判定，指它是判定直线和平面垂直的方法；是性质，指：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任何一条直线．即“l⊥α，a⊂α⇒l⊥a”．这是证明线线垂直的一种方法． 例1能够证明直线l与平面α垂直的条件是()①l与α内两条平行直线垂直；②l与α内两条相交直线垂直；③l与α内无数条直线垂直；④l与α内任意两条直线垂直；⑤l∥m，m⊥α；⑥直线m，n确定平面α，l⊥m，l⊥n. A．①②④B．①③⑥C．②④⑤D．③④⑥【分析】本题是考查直线与平面垂直的概念、判定定理的理解，主要需要领会定义中直线的任意性，判定定理中平面内两条直线必须是相交的． www.3edu.net完全免费,无需注册,天天更新！ 【解析】前面的四个命题是直接利用线面垂直的定义与判定定理，显然②④正确；命题⑤说明：如果一个平面与两条平行线中的一条垂直必与另一条直线也垂直；命题⑥中直线m，n确定平面α时直线m，n有相交与平行两种情况，当相交时得l⊥α，当平行时不一定得到l⊥α.∴应选C.【答案】C 【规律方法】直线与平面垂直的定义是一个描述性定义，对直线的任意性要注意把握；根据直线与平面垂直的定义可知：垂直于平面的直线与平面内任意直线都垂直．在直线与平面垂直的判定定理中，一定要注意平面内的两条直线一定是相交的． 变式1判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号．(1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．()(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．() (3)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．()(4)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．() 解析：(1)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．若为平行，则该命题应打“×”号；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内这无数条线的位置关系，则该命题应打“×”号．(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”． (3)下面我们将证明两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A垂直于直线a的平面惟一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内．∴该命题应打“√”号． (4)三条共点直线两两垂直，设为a，b，c且a，b，c共点于O.∵a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，且b，c确定一平面，设为α，则a⊥α，同理可知b垂直于由a，c确定的平面，c垂直于由a，b确定的平面．∴该命题应打“√”号．答案：(1)×(2)√(3)√(4)√ 要点二直线与平面垂直判定定理的应用1.要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．2．判定定理在应用时，切实要抓住“相交”二字，它把线面垂直转化为线线垂直．即“l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒l⊥α.” 例2如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，M是圆周上异于A、B的一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM. 【分析】要证线面垂直根据线面垂直的判定定理需证线线垂直，已知AN⊥PM，只需在平面PBM中再找一条直线与AN垂直，如BM或PB垂直即可． 【证明】设圆O所在平面为α，则已知PA⊥α，且BM⊂α，∴PA⊥BM.又∵AB为⊙O的半径，点M为圆周上一点．∴AM⊥BM，由于直线PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN⊂平面PAM.∴BM⊥AN.这样，AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．故AN⊥平面PBM. 【规律方法】(1)线面垂直的判定定理是判定线面垂直的最常用思路．(2)线面垂直的定义，既是线面垂直的性质又是判定方法，但作为直线与平面垂直的判定并不实用． 变式2如下图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：A1C⊥平面BC1D. 证明：连接AC，∵正方体ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴AA1⊥BD，BD⊥AC.∵AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1C，∴A1C⊥BD.同理可证A1C⊥BC1.∵BC1∩BD＝B，∴A1C⊥平面BC1D. 要点三求直线与平面所成的角斜线与平面所成的角(空间角)是用斜线和其射影所成的角(平面角)来定义的，因此，其求解策略也是将空间问题转化为平面问题．要注意，斜线与平面所成的角的大小不受选择的点的位置限制；作出斜线的射影是求直线和平面所成角的关键． 例3如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值． 【分析】由题目可获取以下主要信息：①BC⊥MC；②BM在面ABC上的射影为AB，MA⊥平面CAB.解答本题需先找到所要求的线面角，关键是找到面CAB的垂线． 【解】由题意知，A是M在平面ABC内的射影，∴MA⊥平面ABC，∴MC在平面CAB内的射影为AC.∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°， www.aaaxk.com三星学科,教师助手,学生帮手,家长朋友！ 【规律方法】求斜线与平面所成角的步骤：(1)寻找过直线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得出射影，确定出所求角；(3)把该角放入三角形中计算． 变式3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角． 解：连接BC1交B1C于O，连接A1O，在正方体ABCDA1B1C1D1中，各个平面为正方形，设其棱长a www.3edu.net完全免费,无需注册,天天更新！