直线、平面垂直的判定与性质(教师版)

  直线、平面垂直的判定与性质(教师版)直线、平面垂直判定及其性质-----第37讲一、知识罗列（一）直线与平面垂直1．直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论（二）平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定定理1二、案例分析题型一：垂直关系的基本问题例1：(2012·襄州模拟)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．其中的假命题的序号是________．[自主解答]①显然错误，因为平面α∥平面β，平面α内的所有直线都平行β，所以β内的两条相交直线可同时平行于α；②正确；如图1所示，若α∩β＝l，且n∥l，当m⊥α时，m⊥n，但n∥β，所以③错误；如图2显然当m′⊥n′时，m不垂直于n，所以④错误．[答案]①③④练习1：(2012·长春模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，a⊥α，b?α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a?α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确命题的个数为()A．1C．3B．2D．4解析：选D对于①，由b不在平面α内知，直线b或者平行于平面 α，或者与平面α相交，若直线b与平面α相交，则直线b与直线a不可能垂直，这与已知“a⊥b”相矛盾，因此①正确．对于②，由a∥α知，在平面α内必存在直线a1∥a，又a⊥β，所以有a1⊥β，所以α⊥β，②正确．对于③，若直线a与平面α相交于点A，过点A作平面α、β的交线的垂线m，则m⊥β，又α⊥β，则有a∥m，这与“直线a、m有公共点A”相矛盾，因此③正确．对于④，过空间一点O分别向平面α、β引垂线a1、b1，则有a∥a1，b∥b1，又a⊥b，所以a1⊥b1，所以α⊥β，因此④正确．综上所述，其中正确命题的个数为4.练习2：(2012·杭州模拟)设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是()A．a⊥c，b⊥cC．a⊥α，b∥αB．α⊥β，a?α，b?βD．a⊥α，b⊥α解析：对于选项C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a∥b.答案：C2题型二：直线与平面垂直的判定与性质例1：(2010·烟台模拟)如图在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1，AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，C1在面ABC上的射影H必在二平面交线AB上．答案：A练习1：m、n是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β； ④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β.解析：①显然正确；②错误，n还可能在β内；③错误，n可能与β相交但不垂直；④正确．答案：①④练习2:设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是()①若l⊥α，则l与α相交；②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.A．1C．3B．2D．4解析：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题①正确；由于不能确定直线m，n是否相交，不符合线面垂直的判定定理，命题②不正确；根据平行线的传递性，l∥n，故当l⊥α时，一定有n⊥α，命题③正确；m⊥α，n⊥α，则m∥n，又l∥m，即l∥n，命题④正确．故选C.答案：C例2：(2012·广东高考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，1PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝，PH为△PAD中AD边上的高．23(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)若PH＝1，AD＝2，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；(3)证明：EF⊥平面PAB.[自主解答](1)证明：因为AB⊥平面PAD，PH?平面PAD，所以PH⊥AB.因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.因为PH?平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.(2)如图，连接BH，取BH的中点G，连接EG.因为E是PB的中点，所以EG∥PH，11且EG＝＝.22 因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD.因为AB⊥平面PAD，AD?平面PAD，所以AB⊥AD.所以底面ABCD为直角梯形．1112所以VE－BCF＝△BCF·EG＝FC·AD·EG＝33212(3)证明：取PA中点M，连接MD，ME.1因为E是PB的中点，所以ME綊AB.21又因为DF綊AB，所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.2因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.练习1：(2012·大连模拟)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠C＝90°，点B1在底面上射影D落在BC上．(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；(2)若AB1⊥BC1，且∠B1BC＝60°，求证：A1C∥平面AB1D.解：(1)∵B1D⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴B1D⊥AC.又∵BC⊥AC，B1D∩BC＝D，4∴AC⊥平面BB1C1C.(2)??AC⊥BC1?≠?AB1与AC相交??AB1⊥BC1BC1⊥平面AB1C????BC1⊥B1C，?B1C?平面AB1C?∴四边形BB1C1C为菱形，∵∠B1BC＝60°，B1D⊥BC于D，∴D为BC的中点．连接A1B，与AB1交于点E，在三角形A1BC中，DE∥A1C，∴A1C∥平面AB1D.练习2：(2012·启东模拟)如图所示，已知PA⊥ 矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.证明：(1)连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，1在Rt△PAC中，N为PC中点，∴ANPC.2∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB.从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，1∴BN＝PC.2∴AN＝BN.∴△ABN为等腰三角形，又M为AB的中点，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.(2)连接PM，MC，∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD.∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∴AP＝BC.又∵M为AB的中点，∴AM＝BM.而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴△PAM≌△CBM.∴PM＝CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.5题型三：平面与平面垂直的判定与性质例1：如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC解析：因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．答案：D 练习1：(2012·上海模拟)若m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是()．A．若α∥β，m⊥α，则m⊥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥α，m⊥β，则α⊥βD．若α∩β＝m，且n与α、β所成的角相等，则m⊥n解析：容易判定选项A、B、C都正确，对于选项D，当直线m与n平行时，直线n与两平面α、β所成的角也相等，均为0°，故D不正确．答案：D练习2:如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由三垂线定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)例2：(2012·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.[自主解答](1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，6CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F. 又因为CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE.练习1：(2012·泸州一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)若点M在线段PC上，且PM＝tPC(t>0)，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB.解：(1)因为PA＝PD，Q为AD的中点，所以PQ⊥AD.连接BD，因为四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，所以AB＝BD.所以BQ⊥AD.因为BQ?平面PQB，PQ?平面PQB，BQ∩PQ＝Q，所以AD⊥平面PQB.因为AD?平面PAD，所以平面PQB⊥平面PAD.1(2)当t＝时，PA∥平面MQB.3证明如下：连接AC，设AC∩BQ＝O，连接OM.在△AOQ与△COB中，因为AD∥BC，所以∠OQA＝∠OBC，∠OAQ＝∠OCB.AOAQ1AO1OC2所以△AOQ∽△COB.所以＝.所以＝，即＝.OCCB2AC3AC31CM2CMOC由PM＝PC，知＝，所以AP∥OM.3CP3CPAC因为OM?平面MQB，PA?平面MQB，所以PA∥平面MQB.7练习2：(2012山东高考·满分12分)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.(1分)又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC?平面EOC， 所以BD⊥平面EOC.(2分)因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.(3分)(2)法一：如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MN∥BE.(4分)又MN?平面BEC，BE?平面BEC，所以MN∥平面BEC.(5分)又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.(6分)又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.(7分)所以DN∥BC.又DN?平面BEC，BC?平面BEC，所以DN∥平面BEC.(9分)又MN∩DN＝N，所以平面DMN∥平面BEC.(10分)又DM?平面DMN，所以DM∥平面BEC.(12分)法二：如图，延长AD，BC交于点F，连接EF.(4因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.(5分)因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°.(7分)因此∠AFB＝30°，分)81所以AB.(9分)2又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．(10分)连接DM，由点M是线段AE的中点，得DM∥EF.又DM?平面BEC，EF?平面BEC，(11分)所以DM∥平面BEC.(12分) 题型四：直线、平面垂直的综合问题例1:如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则下列命题中错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°解析：因为三棱锥A－A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面的中心，A正确；平面A1BD∥平面CB1D1，而AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1，B正确；根据对称性知C正确．答案：D例2：(2009·浙江高考)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图，取BC中点E，连结DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE31，DE＝223AE2tan∠ADE＝DE＝＝3，12∴∠ADE＝60°.答案：C例3．设P是60°的二面角α－l－β内一点，PA⊥α，PB⊥β，A、B分别为垂足，PA＝2，PB＝4，则AB的长是________．解析：如图所示，PA与PB确定平面γ，与l交于点E，则BE⊥l，AE⊥l，9∴∠BEA即为二面角的平面角，∴∠BEA＝60°，从而∠BPA＝120°，∴AB＝PA＋PB－2PA·PBcos∠BPA4＋16＋8＝27.答案：27 10