空间中直线与平面垂直的定义及判定

空间中直线与平面垂直的定义及判定教材分析（一）教材内容的安排与要求：与传统立体几何内容体系相比，本次立体几何内容的体系结构有重大改革。传统立体几何基本上按照从局部到整体的原则，从研究点、直线和平面开始，先讲清楚它们之间的位置关系和有关公理、定理，再研究由它们组成的几何体的结构特征，几何体的体积、表面积等等。人教A版新课标实验教材先从对空间几何体的整体感受入手，再研究组成空问几何体的点、直线和平面。这种安排有助于培养学生的空间想象能力、几何直观能力，淡化几何论证，降低立体几何学习入门难的门槛，强调几何直觉，把培养学生的空间观念和空间想象能力放到突出的位置，以激发学生学习立体几何的兴趣。“空向中直线和平面垂直的定义及判定”标专题内容经修改后教学要求大大降低，特别是论证方面，删去了"利用有关概念进行论证和解决有关的问题”的要求；将“三垂线定理及其逆定理"由"掌握"级降为"了解"级要求，淡化了几何论证的要求。强调通过直观感知、动手实践来认知和理解线面垂直的定义和判定定理，能运用定义及定理证明一些空间位置关系的简单命题。在教学内容设计上更注重实践操作和探究。（二）学情分析笔者所带两个教学班差异明显，重点班学生学习习惯良好，基础相对扎实，但不善于大胆表述自己的观点，合作意识有待加强；另一普通班学生学习依赖性较强，自主探究意识薄弱。同时，同一个班中的学生有近一半来自初中课改实验区，使用实验教材；而另一半则沿用原教材。学生的初中几何基础参差不齐，差异较大。其中非课改区学生的空间感以及了解的几何知识相对课改区有一定差距。(三)教学目标13 针对教材特点和学生现状，分别从知识、能力以及情感与态度三方面来确定本节课的教学目标如下：1.知识目标：(1)掌握直线与平面垂直的定义及判定定理；(2)会应用直线与平面垂直的定义及判定定理解决一些简单的问题。2.能力目标：(1)在合作探究中逐步构建知识结构；(2)在实践操作中发展学生几何直观能力和空间想象能力。3.情感与态度目标：(1)通过创造情境激发学生学习的兴趣与热情；(2)鼓励合作探究、互助交流，培养创新意识。(四)教学重点与难点1.教学重点会运用定义与判定定理证明直线与平面的垂直关系。2.教学难点在正方体模型中寻找线面垂直关系并予以证明。二.教法分析新课程标准把“茸探索、合作交流”件为本次课程改革积极倡导的学习方式之一。人教A版实验教材在内容处理上给教师提供了更多的创造新形式、新内容的空间，更注重教师对教材个性化的处理。本教学内容在教法设计上力求做到用教材而非教教材：1.高一学生刚开始学习立体几何，尤其是非课改实验区的初中毕业生，他们的空间概念比较薄弱。应充分利用“观察”、“思考”、“探究”等栏目，在原有教材内容的基础上重组13 整合教学内容，创设宽松的开放式问题情境，给学生创造自己动手操作的机会，利用自己制作的模型分组谈论，自主探究，确保“直观感知一操作确认一思辨论证一度量计算”四个层次认识过程的展开和实施。使学生在自主探索的学习中自己建构数学知识，发展学生的空间观念和几何直觉。1.适当的多媒体课件演示为学生理解和掌握几何图形性质的教学提供形象支持，有助于提高学生的几何直观能力和空间想象能力。三.学生课前准备：自由分组；准备三角板、正方体模型。四.教学过程教学实录（附教学录像）教师：我们先来回顾一下，空间中直线和平面有哪几种位置关系？学生1:两种。分别是平行、相交。学生2:应该还有直线在平面内的情况！教师：直线与平面这三种位置关系可以分类列表归纳如下：'线在面内线与面的位置关系［■线面平行线在面外I、、线面相交教师：请欣赏图片：当把笔直的旗杆抽象成直线1,天安门广场抽象成平面a,我们可以直观地感受到直线1与平面具有怎样的位置关系？学生：显然是垂直的！教师：今天这节课我们就一起来学习这种直线与平面相交的特殊情况：直线与平面垂直的定义与判定。教师：用教具直观演示：13 我们知道两条异面直线可以通过适当平移成为相交直线，当这两条相交直线成90度时，我们就称这两条相交直线互相垂直。也就是说空间中两直线的垂直可分为相交垂直和异面垂直。探究活动一：尝试探究中生疑教师把课本中的知识点转化为具有探索性的问题，通过学生合作探究，以动促学。一.引出定义：教师：我们来做一个实验：请大家拿出一支笔，竖立在桌面上，你会发现笔与桌面呈怎样的位置关系？学生会很快回答是垂直的关系！教师继续提问：请在桌面任取一条直线，观察此直线与竖立直线会有怎样的位置关系？学生的兴趣被调动起来，通过自己尝试并观察周围同学的实验操作，学生得出结论：无论桌面什么位置上的直线都会与竖立的直线成相交垂直或异面垂直的位置关系！教师：所以，我们可以借助线线垂直来定义线面垂直！以此引出空间中直线和平面垂直的定义：如果一条直线垂直于平面内的任何一条直线，则这条直线与平面垂直。二.强化定义教师：怎样可以判定一条直线和平面垂直呢？如果直线与平面内无数条直线都垂直，能否判定直线与平面垂直？学生：充分利用桌面和笔不断进行尝试与探索。在这一过程中，学生主动参与、乐于探究，对线面垂直的定义有了深层次的理解。学生1:我可以举出反例说明。如一条直线与平面斜交。可以在平面内先找到一条与斜线垂直相交的直线，再把这条直线平移，可以得到平面内有无数条直线与斜线垂直，但很明显斜线并不与平面垂直。（教师及时通过多媒体同步展示学生所举出的反例，增强直观感知）教师：很好！该同学抓住了这句话的关键字：无数！“无数”其实只是对平面内直线的数目予以要求，却并未强调平面内直线的任意方向。回到线面垂直的定义注意其关键字：“无数”并不等价于“任何”13 教师乘胜追击，把探究一作为问题的生长点，进一步激发学生的学习兴趣。学生在作探究一的同时意识到，由于平面内直线的任意性，给证明和判断空间中的线面垂直带来不便。于是学生在合作探究中又生一问在平面内找到多少条直线与已知直线垂直就足以判定直线与平面垂直呢？探究活动二：分组讨论中释疑让学生分组实验，大胆讨论猜想，以思促学。学生：继续分组讨论。借助桌面、笔、直角三角板等工具进行探究实验。有部分学生很快说出只需要在平面内找两条直线与已知直线垂直就可以了。教师继续追问：是平面内的任意两条吗?学生2:必须是平面内两条相交直线！教师用两直角三角板直观演示，得出对平面内两相交直线并没有具体角度的限制，并发现：线不在多，相交就行！至此得到一个判定空间中直线与平面垂直的重要判定定理：当平面内两条相交直线都与直线l垂直时，就可以判断l与平面垂直了！通过教师创设问题情境，学生分组合作、讨论、交流，发现并容易接受空间中线面垂直的判定定理。正如著名数学家弗赖登塔尔所说的：将数学理论家们业已证明并形式化了的“冰冷的美丽”还原为“火热的思考”深化定理，加强训练学生对图形语言、文字语言、符号语言的相互转化能力。教师：多媒体显示定理的文字语言和图形语言，请学生写出符号语言。学生3:71_a,l_b1_：教师：大家觉得是否准确？13 学生4：应加上au口且buo(aTib=A教师：多媒体显示图形语言和符号语言，请用文字语言准确描述定理。展示线面垂直的几种常见直观图的画法。探究活动三：教师：线面垂直可以借助线线垂直予以证明，也体现了转化的思想。你能举出一些实际生活中的例子是借助判定定理得出线面垂直的吗？学生：分组讨论。学生5:比如我们所在的课室。右前方有一条竖直的墙角线，它与前方地面一条地脚线垂直，同时与我右边地脚线也垂直，而且地面这两条地脚线是相交直线！我们由判定定理得竖直的墙角线与地面垂直！教师引入教材72页探究问题，鼓励学生借助线面垂直的定义及判定予以说明。探究活动四：实验操作中新疑；教师充分利用不确定情境激发学生创造性的探究，以创促学。通过学生自己动手实际操作，结合几何画板制作动态演示课件，让学生视觉、听觉协同参与，感知。教师：在我们接触较多的正方体模型中你能找到线面垂直的位置关系吗？学生们快速地通过每个小组自己带来的模型得出结论：每条侧棱垂直于上下底面，水平的棱垂直于左右侧面。教师：如果加上正方体的各条面对角线和体对角线后，你能否找到更多的线与面的垂直关系？（源于P74例2与P87B组习题2,进一步整合延展）学生分组借助自制正方体模型讨论探究。13 此时，教师放手让学生去想去议，调动学生思维的积极性和学习交流。当学生经过思考、讨论后，真正实现由感性认识向理性认识的过渡，达到巩固所学知识的目的，激发学生的理性思维，引导学生由直观感知、操作确认到思辨论证的过渡。鼓励学生大胆猜想、小心验证，把结论写在画有正方体的练习纸上互相交流。让学生代表展示探究结果：学生6:我们组发现正方体的面对角线BD与平面A1ACCl垂直.教师：你能否证明你的结论？13 学生6:在正方体AC1中，AC_LBD又,；AA11平面ABCDBDu平面ABCDAAi_BD又•:AA1RAC=A且AA1、ACc平面AA1CC1工BD1平面AA1CC1教师：在学生表述证明过程的同时规范板书证明格式。小结：要证明线面垂直只需在面内找到两条相交直线，证明它们与已知直线均垂直。强调这是一个通过线线垂直转化证明线面垂直的方法。学生7:我们组觉得线AC与平面BDC1好象是垂直的！教师：这组同学猜想正方体的体对角线与三条面对角线组成的平面垂直。你们能结合线D面垂直的定义和判定定理帮助他们予以证明吗？学生的探知欲望再次被激发，开始了又一轮热烈的讨论学生8:CB好象学生6得出的结论对我们证明学生7的猜想有所帮助！7BD_L平面AAiCCi且AC仁平面AAiCCiBD_A1c此时已经知道AiC与面内的一条直线BD垂直了！只需在面内再找到一条与BD与交且与AiC垂直的直线就可以了！！教师：非常好！请结合图象观察，你认为平面BDC1内哪一条直线既与BD相交又与A1C垂直？学生9:当我们把正方体的右侧面放在桌面当成底面，则得到与学生8已经证出的那对13 线线垂直完全一样!教师：说得好！同理可证!又1/BCiDBD=B，AC_L平面DBCi由于探究四是一个开放性的问题，充分创设机会诱发学生的学习动机。从广度上看，学生因没有固定答案限制而敢于作大胆猜想，对于不同层次的学生均有机会参与讨论探索。教师及时将学生分组讨论验证的结论展示给全体学生，并鼓励学生大胆交流，表述理论根据，展现自我。在这一环节中，学生充分体验通过自主探索，分组合作讨论得出结论的成功与满足感，进一步增强学生学习数学的自信，对激发学生的创新意识有极大的推动作用。当有学生在通过实验猜想体对角线与三条面对角线构成的对角面垂直时，教师引导其如何利用判定定理规范证明。在整个教学过程中教师必须时刻注意与学生的互动，追随学生的思维，不断调整。这也对教师的教学基本功、应变能力、数学修养等各方面提出更高要求。由于采取猜想一一证明一一表达与交流的学习模式，教师充当着合作者与促进者，与学生更为贴近，课堂气氛活跃。探究活动五:教师：若将正方体保留某些棱与顶点得三棱锥G-BCD,请说出有几个面是直角三角形？学生：三个！教师：第四个面是怎样的三角形?学生：等边三角形。教师：若有一个三棱锥中三个直角三角形面共直角顶点,则第四个面是否可能是直角三角形？13 学生分组讨论发现：由于第四个三角形的三条边不可能构成勾股数，即不存在以上情况。教师：请课后思考是否存在四个面均为直角三角形的三棱锥呢？这正是教材上P77练习的变式！使学生再次对线面垂直定义与判定定理有了深层次理解，做到把本章重要知识点反复强调但不机械重复。在教师设计的一系列探究活动中，学生创新的思想火花不断迸发，知识结构也在学生主动探究中逐步构建。教师小结：本节课学习了空间中直线与平面垂直的定义和判定定理。其中，借助线线垂直来定义线面垂直；要证明线面垂直可以借助定义和判定定理转化为证明线线垂直。在证明与判定过程中需要灵活运用转化思想，大胆猜想，小心验证。后记：新的教学理念告诉我们：教材是学生从事数学学习的基本素材，它为学生的数学学习活动提供了基本的线索、基本内容和主要的数学活动机会，但它不是唯一的课程资源。教师只有创造性地使用教材，做课程的开发者、学习的促进者、教学的研究者、反思的实践者，才能把教学过程变为课程内容持续生成与转化的过程；才有助于教师不断提升专业素养；才能创造性地实施新课程，进行有效教学。五.设计说明《普通高中数学课程标准》下的人教A版实验教材以思维为主题，注重知识概念形成的铺垫，强化应用，给教师提供更大空间对教学内容进行重新整合。本教学设计力求做到源于教材、高于教材。主要有以下几个特点:13 1.尝试探索中生疑;教师把课本中知识点转化为具探索性的问题，通过学生合作探究，以动促学。如引入空间中直线与平面垂直的定义时，创设探究情境和条件让学生迅速进入角色。问题探究1:能否用线线垂直来定义线面垂直？问题探究2:直线l与平面a内无数条直线垂直，可以说直线l与平面a垂直吗？问题探究3:（1）在平面a内找一条直线与这条直线l垂直就可以判断出l，a吗？（2）在平面a内找两条直线与这条直线l垂直就可以判断出Ua吗？2.分组讨论中释疑；让学生分组实验，大胆讨论猜想，以思促学。《新课程标准》中反复强调：数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。在教师创设促进学生学习的动态环境过程中，最突出的特征是问题的开放性与启发性。于是我以正方体为载体，设计了一系列开放式探究问题，最大程度激发学生最近思维发展区，引导学生看实物模型，其目的是提高学生的空间想象能力，加深对所学知识的理解和记忆。借助现代信息技术工具，看表现空间点、直线与平面位置关系的各种图形，获得丰富的感性材料。在引导学生观察模型时，启发学生学会有目的地、有序地、全面地观察模型体现的直线与平面之间的垂直关系。问题探究4:（分小组借助实物模型共同合作探究）一个正方体的六个面与对角面、所有棱、面对角线、体对角线中，有哪些线面垂直关系？请找出并予以证明在人教A版教材中，线面垂直的判定给了两道例题，难度跨越较大，教师13 可结合学生的实际水平，对内容进行整合改编，实现对学生认知能力更深层次的挖掘！教师应避免过于注重书本知识现状，对教学内容产生依赖。应由旧课程体制下的“俵冈靠本”1m书忠实的执行者转变为课程创造性的执行者。2.实验操作中新疑；通过学生自己动手实际操作，结合几何画板制作动态演示课件，让学生视觉、听觉协同参与，感知，教师充分利用不确定情境激发学生创造性的探究,以创促学，引出探究5:是否存在四个面均为直角三角形的三棱锥？着眼于促使学生独立思考和自主探索，给学生自主探索的机会，让学生在讨论的基础上发现问题和解决问题；给学生比较充分的思考的空间和时问，在借助图形直观进行合情推理的过程中，增强学生探究的好奇心，加深对数学的理解，培养学生乐于钻研、勤于思考的习惯，激发出潜在的创造力，让学生在不断探索与创造的氛围中发展解决问题的能力，体会数学的价值.六教后反思新课程改革要求教师成为一个“研究者”，以研究者的眼光审视和分析教学理论与教学实践中的各种问题，不断对自己的教学过程进行反思。1.满意的地方：在整个教学过程中，能不断激发学生探索新知的欲望，较充分体现了课程标准所提出的培养学生探究性学习和再创造的思维能力的要求。通过一系列探究活动多维度构建便于学生“自主参与、自主探究”的实践活动；多形式提供利于学生“展示自我、发展自我”的教学平台，力争使不同层次学生学有所获。13 1.教学中的不足：在课堂组织与指导过程中，平行班由于有一系列过渡性问题，学生实施探究与证明的过程开展较为顺利；作为重点班，由于开放性问题难度较大，教师又担心课堂时间不足，导致在最后一个探究问题5上学生无法消化，未达到预期效果。应给学生更充裕的讨论与思考空间。由于课堂时间有限，可以鼓励小组课前带着问题预习并合作探究。使学生在课堂上能更充分发表自己合作讨论的结果，加强组间互助与沟通。必要时最后的探究问题可大胆删减，留作课后思考。2.对实验教材的反思：1.在教学内容安排上：“空间中线面垂直的定义和判定定理”是推导“面面垂直关系”和“线面垂直的性质”的基础，课本配置的两道例题难度跨越较大。鉴于新教材提倡教师不要拘泥于教材，应鼓励学生在实际操作中学习与认知的观念，教师可以结合多种版本的新课标实验教材，对其例、习题加以重新整合，合理设计探究问题，引导学生逐步掌握这一专题内容。2.在知识点处理上：对于立体几何初学者来说，应从一开始就应有意识地训练学生三种数学语言的规范表达。正方体中的线面垂直关系具有一定的典型与代表性，是学生较为熟悉的模型，可以充分利用，帮助学生建立良好的空间感。在新课程标准下的高中数学教材中，尤其在文科的选修教材里，甚至不出现空间向量的知识，这对于空间感原本就相对薄弱的文科学生来说，如何使立体几何的证明变得容易理解与掌握是一个值得思考的问题。13