高中数学《直线、平面垂直的判定与性质》

§8.4 直线、平面垂直的判定与性质考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⇒a∥b2.平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直⇒l⊥α3.空间角 (1)直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．②范围：.(2)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．③二面角的平面角的范围：[0，π]．微思考1．若平面α⊥β，且α∩β＝l，若直线m⊥l，则m与平面β一定垂直吗？提示 不一定，当m⊂α时，m⊥β.2．空间中任一直线m，在平面α内是否存在无数条直线与m垂直？提示 存在．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)垂直于同一个平面的两个平面平行．( × )(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( × )(3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( × )(4)过平面外一点有且只有一条直线垂直于这个平面．( √ )题组二 教材改编2．下列命题中错误的是(  )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案 D解析 对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．3．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(  )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析 依题意，由l⊥β，l⊂α，可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β，因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.4.如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面有________对．答案 3解析 ∵AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABD，AB⊂平面ABC，∴平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.又AB⊥CD，BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.题组三 易错自纠5．“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的________条件．答案 必要不充分6．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案 (1)外 (2)垂解析 (1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC， 即O为△ABC的外心．(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心.题型一 直线与平面垂直的判定与性质例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.证明 ∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．跟踪训练1 (2019·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值．(1)证明 由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，因为BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，EC1∩B1C1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解 由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(1，－1,1)，＝(0,0,2)．设平面EBC的法向量为n＝(x，y，z)，则即所以可取n＝(0，－1，－1)．设平面ECC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即所以可取m＝(1,1,0)． 于是cos〈n，m〉＝＝－，sin〈n，m〉＝＝，所以二面角B－EC－C1的正弦值为.题型二 平面与平面垂直的判定与性质例2 在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P－BCDE.(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P－BCDE的体积；(2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE.(1)解 如图所示，取DE的中点M，连接PM，由题意知，PD＝PE，∴PM⊥DE，又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM⊂平面PDE，∴PM⊥平面BCDE，即PM为四棱锥P－BCDE的高．在等腰直角三角形PDE中，PE＝PD＝AD＝2，∴PM＝DE＝，而直角梯形BCDE的面积S＝(BE＋CD)·BC＝×(2＋4)×2＝6，∴四棱锥P－BCDE的体积V＝PM·S＝××6＝2.(2)证明 取BC的中点N，连接PN，MN，则BC⊥MN，∵PB＝PC，∴BC⊥PN，∵MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面PMN，∴BC⊥平面PMN， ∵PM⊂平面PMN，∴BC⊥PM，由(1)知，PM⊥DE，又BC，DE⊂平面BCDE，且BC与DE是相交的，∴PM⊥平面BCDE，∵PM⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE.思维升华 (1)面面垂直判定的两种方法与一个转化①两种方法：(ⅰ)面面垂直的定义；(ⅱ)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．②一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(2)面面垂直性质的应用①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．跟踪训练2 (2020·江苏)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．(1)求证：EF∥平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.证明 (1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1.又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以B1C⊥AB.又AB⊥AC，B1C⊂平面AB1C，AC⊂平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C. 又因为AB⊂平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.题型三 垂直关系的综合应用例3 (2020·红河州模拟)在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2)若△PCD的面积为8，求四棱锥P－ABCD的体积．解 (1)存在，当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD.证明：取AD的中点M，连接CM，PM，由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD，由平面PAD⊥平面ABCD，PM⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，可得PM⊥平面ABCD，由PM⊂平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.(2)设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，可得MC＝AB＝MD＝a，则CD＝a，PD＝2a，由PM⊥MC，可得PC＝＝＝2a，由S△PCD＝·a·＝a2＝8，可得a＝4，所以四棱锥P－ABCD的体积V＝S四边形ABCD·PM＝××(4＋8)×4×4＝32.思维升华  对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．跟踪训练3 如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．(1)求证：AF∥平面SEC；(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．(1)证明 取SC的中点G，连接FG，EG，∵F，G分别是SB，SC的中点，∴FG∥BC，FG＝BC，∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，∴AE∥BC，AE＝BC，∴FG∥AE，FG＝AE，∴四边形AFGE是平行四边形，∴AF∥EG，又AF⊄平面SEC，EG⊂平面SEC，∴AF∥平面SEC.(2)证明 ∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点，∴SE⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE⊂平面SEC，∴AD⊥平面SEC，又EG⊂平面SEC，∴AD⊥EG，又四边形AFGE是平行四边形，∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，又SA＝AB，F是SB的中点，∴AF⊥SB，又FG∩SB＝F，FG，SB⊂平面SBC，∴AF⊥平面SBC，又AF⊂平面ASB，∴平面ASB⊥平面CSB.(3)解 假设在棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC， 连接MO，BE，则BD⊥OM，∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，∴BE＝，SE＝，BD＝2OB＝2，SD＝2，SE⊥AD，∵侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD∩底面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，∴SE⊥平面ABCD，∴SE⊥BE，∴SB＝＝，∴cos∠SBD＝＝，又在Rt△BMO中，cos∠SBD＝＝，∴BM＝，∴＝.课时精练1．(2020·海南模拟)设α和β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法不正确的是(  )A．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥βB．若m⊥α，n⊂β，α∥β，则m⊥nC．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n答案 A解析 m∥α，n∥β，m∥n，并不能推出α∥β，这时α和β可能相交，故A错误；若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊂β，则m⊥n，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊥β，则α⊥β，C正确；若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，则m∥n，D正确．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且直线m⊂α，直线n⊂β，则下列命题为真命题的是(  )A．“m⊥n”是“n⊥α”的充分条件B．“m∥n”是“m∥β”的既不充分也不必要条件C．“α∥β”是“m∥n”的充要条件D．“m⊥n”是“α⊥β”的必要条件答案 B 解析 n⊥α能得到n⊥m，但n⊥m不能得出n⊥α，A错；m∥n时，m也可能在平面β内，不能得出m∥β，反之，m∥β，β内的直线也不一定与m平行，即不能得出m∥n，∴“m∥n”是“m∥β”的既不充分也不必要条件，B正确；α∥β时，m，n可能是异面直线，不一定平行，m∥n时，α，β也可能相交，不一定平行，C错；两个平面垂直，分别在这两个平面内的两条直线可能相交，可能平行，不一定垂直，D错．3．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(  )A.B.C.D.答案 B解析 如图，取正三角形ABC的中心O，连接OP，则∠PAO是PA与平面ABC所成的角．因为底面边长为，所以AD＝×＝，AO＝AD＝×＝1.三棱柱的体积为×()2AA1＝，解得AA1＝，即OP＝AA1＝，所以tan∠PAO＝＝，因为直线与平面所成角的范围是，所以∠PAO＝.4.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(  ) A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC答案 D解析 因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．5．(2020·淄博模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为(  )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段答案 A解析 如图，连接AC，AB1，B1C，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有BD1⊥平面ACB1，因为AP⊥BD1，所以AP⊂平面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，∴点P的轨迹为平面ACB1与平面BCC1B1的交线段CB1.6.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是(  ) A．BC⊥平面PACB．AE⊥EFC．AC⊥PBD．平面AEF⊥平面PBC答案 C解析 对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而BC⊂底面圆面，则PA⊥BC，又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC.所以A正确；对于B，由A项可知BC⊥AE，由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PCB，所以AE⊥平面PCB，而EF⊂平面PCB，所以AE⊥EF，所以B正确；对于C，由B项可知AE⊥平面PCB，因而AC与平面PCB不垂直，所以AC⊥PB不成立，所以C错误；对于D，由B项可知，AE⊥平面PCB，AE⊂平面AEF，由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC.所以D正确．7．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________．答案 垂直解析 ∵DA⊥平面α，AC⊂平面α，∴DA⊥CA，在△ABC中，∵∠A＝90°，∴AB⊥CA，且DA∩BA＝A，DA，BA⊂平面ADB，∴CA⊥平面DAB，DB⊂平面DAB，∴CA⊥DB.8．已知平面α，β和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m⊂α；(4)α⊥β；(5)α∥β，当条件________成立时，有m∥β；当条件________成立时，有m⊥β(填所选条件的序号)答案 (3)(5) (2)(5)解析 根据面面平行的特征可得，若m⊂α，α∥β， 则m∥β；根据线面垂直以及面面平行的特征可得，若m⊥α，α∥β，则m⊥β.9.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足______时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析 ∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC(图略)，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A′，并且平面A′BD⊥平面BCD.则给出下面四个命题，正确的是____________．(把正确结论的序号都填上)①A′D⊥BC；②三棱锥A′－BCD的体积为；③BA′⊥CA′；④平面A′BC⊥平面A′DC.答案 ③④解析 如图所示，取BD的中点E，连接A′E.又因为A′B＝A′D，所以A′E⊥BD，所以A′E⊥平面BCD，所以A′E⊥BC. 若A′D⊥BC，则可得到BC⊥平面A′BD，故BC⊥BD，与已知矛盾，故①错误．三棱锥A′－BCD的体积V＝××××＝，故②错误．在直角三角形A′CD中，A′C2＝CD2＋A′D2，所以A′C＝.在三角形A′BC中，A′B＝1，BC＝2，A′C＝，满足BC2＝A′B2＋A′C2，所以BA′⊥CA′.故③正确．又BA′⊥DA′，所以BA′⊥平面A′DC，所以平面A′BC⊥平面A′DC，故④正确．11.如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明 (1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.12．如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由题知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC＝·AB·AC·sin60°＝，由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P-ABC的高．又PA＝1，所以三棱锥P-ABC的体积V＝·S△ABC·PA＝.(2)在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.由PA⊥平面ABC及AC⊂平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM.在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝，从而NC＝AC－AN＝.由MN∥PA，得＝＝.13.(2020·韶关模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是棱PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F，下列说法不正确的是(  )A．OE∥PAB．平面PAC⊥平面PBDC．PB⊥平面EFDD．BD⊥ED答案 D解析 ∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点， ∵E是棱PC的中点，∴PA∥OE，故A正确；∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又AC⊥BD，PD∩DB＝D，PD，BD⊂平面PDB，∴AC⊥平面PBD，又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PDB，故B正确；∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，由四边形ABCD是正方形，得BC⊥CD，又PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，∴BC⊥平面PCD，又DE⊂平面PCD，∴BC⊥DE.∵PD＝DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC，∵PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴DE⊥平面PBC，∵PB⊂平面PBC，∴PB⊥DE，又EF⊥PB，DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面EFD，∴PB⊥平面EFD，故C正确；由DE⊥平面PBC，知DE⊥EB，故D错误．14．(2020·大庆模拟)已知四条边长均为2的空间四边形ABCD的顶点都在同一个球面上，若∠BAD＝，平面ABD⊥平面CBD，则该球的体积为__________．答案 π解析 如图所示，设E是△ABD的外心，F是△BCD的外心，过点E，F分别作平面ABD与平面BCD的垂线OE，OF，相交于点O，由空间四边形ABCD的边长为2，∠BAD＝，所以△ABD与△BCD均为等边三角形，又平面ABD⊥平面CBD，所以O为四面体ABCD外接球的球心， 又AE＝＝2，所以OE＝1，所以外接球的半径为R＝＝，所以外接球的体积为V＝＝×()3＝.15．(2020·广州模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上．若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝________.答案 解析 如图，取SA的中点E，连接PE，QE.∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴SA⊥AB，而AB⊥AD，AD∩SA＝A，∴AB⊥平面SAD，又P，E分别是SB，SA的中点，∴PE∥AB，故PE⊥平面SAD，又AR⊂平面SAD，∴PE⊥AR.又∵AR⊥PQ，PE∩PQ＝P，∴AR⊥平面PEQ，∵EQ⊂平面PEQ，∴AR⊥EQ，∵E，Q分别为SA，AD的中点，∴EQ∥SD，则AR⊥SD，在Rt△ASD中，AS＝4，AD＝2， 可求得SD＝2，由等面积法可得AR＝.16.(2020·黄山模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB.(1)证明：MN∥平面PDC；(2)在线段BC上是否存在一点Q，使得平面MNQ⊥平面PAD，若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明 在四边形ABCD中，由AB＝BC＝，AD＝CD＝1，可得△ABD≌△CBD，可得AC⊥BD，且M为AC的中点，由AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，可得DM＝CDcos60°＝，AC＝2CDsin60°＝，则BM＝×＝，由＝＝，可得MN∥PD，而MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，可得MN∥平面PDC.(2)解 过M作ME⊥AD，垂足为E，延长EM交BC于Q，连接NQ，NE，如图，由PA⊥平面ABCD，EQ⊂平面ABCD，可得PA⊥EQ，又EQ⊥AD，可得EQ⊥平面PAD，EQ⊂平面MNQ，可得平面MNQ⊥平面PAD，故存在这样的点Q.在Rt△DME中，∠EMD＝90°－60°＝30°，在△BQM中，∠QBM＝∠BMQ＝30°，∠BQM＝120°， 由BM＝，＝，可得BQ＝＝，即Q为BC的中点，则Q为BC的中点时，平面MNQ⊥平面PAD.