直线与平面垂直的判定定理ppt课件

2.3.1直线与平面垂直的判定 问题：空间中直线与平面有几种位置关系？线面位置关系垂直斜交一：复习引入ab在平面内平行 实例引入旗杆与底面垂直 大桥的桥柱与水面垂直实例引入 万丈高楼平地起线面垂直最重要实例引入 AB AB AB AB AB AB AB AB CC1B1AB旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直．与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直．直线垂直于平面内的任意一条直线． 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．你能发现旗杆所在直线与它的影子所在直线的位置关系吗？实例感受AαBB1C1CB旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直．与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直．直线垂直于平面内的任意一条直线． 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作．平面的垂线直线l的垂面垂足定义直线与平面垂直 线面垂直的定义常这样使用简记：线面垂直，则线线垂直l^a 思考：如果直线l与平面α内的一条（两条，无数条）直线垂直，则直线和平面α互相垂直?（1）一条直线（3）两条平行直线（2）无数条直线（4）两条相交直线？猜想：直线l与平面α内的两条相交直线垂直，那么此直线与这个平面垂直。lα 探究：动手操作―验证猜想如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：实验：过的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直．如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？ 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。即：mαnαm∩n=Bl⊥ml⊥nl⊥αAmnB简记：线线垂直，则线面垂直关键：线不在多，相交则行5个条件线面垂直的判定定理 巩固练习判断下列命题是否正确,正确的在()内打“√”错的打“×”（4）若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内没有与这条直线垂直的直线。()（1）若一条直线与一个三角形的两条边垂直,则这条直线垂直于三角形所在的平面。()（2）若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面。（）（3）若一条直线与一个梯形的两腰垂直，则这条直线垂直于梯形所在的平面。（）√××√ 例1如图，已知，求证根据直线与平面垂直的定义知又因为所以又是两条相交直线，所以证明：在平面内作两条相交直线m，n．因为直线，四：典型例题 例2：一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条直线上）．如果这两点与旗杆脚距6m，那么旗杆就与地面垂直．为什么？BAPO解：如图，旗杆PO=8m，两绳长PA=PB=10m，OA=OB=6m.因为A，O，B三点不共线，所以A，O，B三点确定平面．又因为所以又因为:所以:因此，旗杆OP与地面垂直．定理应用 下面结论成立的是()1－1.如图2(1)，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图2(2))，使G1、G2、G3三点重合于点G，(1)(2)图2A．SG⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFB．SD⊥平面EFGD．GD⊥平面SEF解析：在题图(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，在题图(2)中，SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG.A 1－2.如图3，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，E是PC上的任一点(除P和C点外)，证明：CD⊥AE.图3证明：在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A.∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. 证明：∵PA⊥⊙O所在平面，BC⊂⊙O所在平面，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O直径，∴AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE，∵AE⊥PC,PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.线面垂直判定定理的应用例3：如图6，已知PA⊥⊙O所在平面，AB为⊙O直径，C是圆周上任一点，过A作AE⊥PC于E，求证：AE⊥平面PBC.图6 1、如图，在三棱锥V—ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC。VABCo.巩固练习 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中巩固练习(1).求证:C1D1A1B1ABCD(2).在三棱锥C1-BDC中有几个直角三角形？(3).在四面体中能否存在四个直角三角形? 答：四个全部都是关键：发现并证明BC平面PAC∟ 复习引入1．直线与平面垂直的定义如果直线l与平面α的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.2．直线与平面垂直的判定定理(1)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。(2)两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. （1）利用定义；（2）利用判定定理．2．数学思想方法：转化的思想1．直线与平面垂直的判定线线垂直线面垂直 巩固练习如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD.求证：PO⊥平面ABCD 引课我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢?直线与平面所成的角 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。BC过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；直线与平面所成的角斜线C垂线垂足斜足A 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角。直线和平面所成角的范围是[0，90]。 AlBODl是平面的斜线，A是l上任意一点，AB是平面的垂线，B是垂足，OB是斜线l的射影，θ是斜线l与平面所成的角.∠AOD是不是直线与平面所成的角？ A1B1C1D1ABCD例1、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求（1）直线A1B和平面BCC1B1所成的角。（2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。O例题示范,巩固新知分析:找出直线A1B在平面BCC1B1和平面A1B1CD内的射影,就可以求出A1B和平面BCC1B1和平面A1B1CD所成的角。阅读教科书上的解答过程 巩固练习1.判断下列说法是否正确（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线（）（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线（）（3）两条异面直线在同一平面内的射影要么是平行直线，要么是相交直线（）（4）若斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等（） 2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCB巩固练习线段B1O线段B1E线段C1D 3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB0o巩固练习90o45o30o A1B1C1D1ABCDO例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.分析：找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角关键就是如何作出平面A1B1CD的垂线 解：连结BC1交B1C于点O，连结A1O，设正方体的棱长为a，∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，∴A1B1⊥平面BCC1B1∴A1B1⊥BC1又∵BC1⊥B1C，∴BC1⊥平面A1B1CD∴A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.一作二证三计算OABCDA1C1D1B1在Rt△A1BO中，A1B=aBO=a所以BO=A1B∠BAO=30°因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30° P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．(1)若PA＝PB＝PC，则O是△ABC的_____；(2)若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的_____；(3)若P到△ABC三边的距离相等，且O在△ABC内部，则O是△ABC的______；(4)若PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的_____．外心垂心内心垂心 解析：(1)如图1，∵PO⊥平面ABC，∴PA、PB、PC在平面ABC上的射影分别是OA、OB、OC.又∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.∴O是△ABC的外心．图1图2(2)如图2，∵PO⊥平面ABC，∴PA在平面ABC上的射影是OA.∵BC⊥PA，∴BC⊥OA.同理可证AC⊥OB，∴O是△ABC的垂心．故填垂心． (3)如图3，图3P到△ABC三边的距离分别是PD、PE、PF，则PD＝PE＝PF.∵PO⊥平面ABC，∴PD、PE、PF在平面ABC上的射影分别是OD、OE、OF.∴OD＝OE＝OF，且OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴O是△ABC的内心，故填内心． ∵PO⊥平面ABC，∴OA是PA在平面ABC上的射影．又∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.∴OA⊥BC.同理可证OB⊥AC.∴O是△ABC的垂心．故填垂心．(4)如图4，图4 空间问题平面问题小结线线垂直线面垂直（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？请用自己的语言表述。（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了那些数学思想方法？定理性质定义定理