高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 学案

第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定学习目标1.探究直线与平面垂直的判定定理,培养学生的空间想象能力.2.掌握直线与平面垂直的判定定理的应用,培养学生分析问题、解决问题的能力.3.让学生明确直线与平面垂直在立体几何中的地位.合作学习一、设计问题,创设情境日常生活中,我们对直线与平面垂直有很多感性认识,比如,旗杆与地面的位置关系,大桥的桥柱与水面的位置关系等,都给我们以直线与平面垂直的印象.问题1:如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直?举例说明.二、信息交流,揭示规律问题2:借助生活中垂直的含义,能不能说出直线与平面垂直的定义?问题3:如何画直线与平面垂直?问题4:如图,请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起做一个试验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).(1)折痕AD与桌面垂直吗?(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直?问题5:如何判定直线和平面平行呢?问题6:什么是斜线在平面上的射影? 问题7:讨论直线与平面所成的角.三、运用规律,解决问题【例1】如图,已知点P为平面ABC外一点,PA⊥BC,PC⊥AB,求证:PB⊥AC.【例2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.四、变式演练,深化提高如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.(1)求证:D1C⊥AC1;(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E∥平面A1BD,并说明理由.五、反思小结,观点提炼请同学们总结下本节课所学习内容:六、作业精选,巩固提高课本P67练习第1,2,3题.参考答案 一、问题1:在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC.随着时间的变化,尽管影子BC的位置在移动,但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就是说,旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B'C'也是垂直的.二、问题2:一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,我们说这条直线和这个平面互相垂直,直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直;过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.平面的垂线和平面一定相交,交点叫做垂足.问题3:直线和平面垂直的画法及表示如下:如图,表示方法为a⊥α.问题4:当且仅当折痕AD是BC边上的高时,AD所在直线与桌面所在的平面α垂直.如图.所以,当折痕AD垂直平面内的一条直线时,折痕AD与平面α不垂直,当折痕AD垂直平面内的两条直线时,折痕AD与平面α垂直.问题5:①直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.进一步指出直线与平面垂直的判定定理的符号语言和图形语言.②符号语言为⇒l⊥α.③图形语言为如图,问题6:斜线:一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线就叫做这个平面的斜线.斜足:斜线和平面的交点.斜线在平面上的射影:过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.问题7:直线与平面相交,直线与平面的相互位置类同于两条相交直线,也需要用角来表示,但过交点在平面内可以作很多条直线.与平面相交的直线l与平面内的线a,b…所成的角是不相等的.为了定义的确定性,我们必须找到一些角中有确定值,又能准确描述其位置的一个角,所以就以由斜线与其在平面上的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地:如果一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角为直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角为0°的角. 如图,l是平面α的一条斜线,点O是斜足,A是l上任意一点,AB是α的垂线,点B是垂足,所以直线OB(记作l')是l在α上的射影,∠AOB(记作θ)是l与α所成的角.三、【例1】证明:过P作PO⊥平面ABC于O,连接OA,OB,OC.∵PO⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PO⊥BC.又∵PA⊥BC,∴BC⊥平面PAO.又∵OA⊂平面PAO,∴BC⊥OA.同理,可证AB⊥OC.∴O是△ABC的垂心.∴OB⊥AC.可证PO⊥AC.∴AC⊥平面PBO.又PB⊂平面PBO,∴PB⊥AC.【例2】解:连接BC1交B1C于点O,连接A1O.设正方体的棱长为a,因为A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以A1B1⊥平面BCC1B1.所以A1B1⊥BC1.又因为BC1⊥B1C,所以BC1⊥平面A1B1CD.所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影,∠BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角.在Rt△A1BO中,A1B=a,BO=a,所以BO=A1B,∠BA1O=30°.因此,直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.四、解:(1)证明:在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连接C1D,如图.∵DC=DD1,∴四边形DCC1D1是正方形.∴DC1⊥D1C. 又AD⊥DC,AD⊥DD1,DC∩DD1=D,∴AD⊥平面DCC1D1,D1C⊂平面DCC1D1.∴AD⊥D1C.∵AD,DC1⊂平面ADC1,且AD∩DC1=D,∴D1C⊥平面ADC1.又AC1⊂平面ADC1,∴D1C⊥AC1.(2)连接AD1,AE,D1E,如图.设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连接MN,∵平面AD1E∩平面A1BD=MN,要使D1E∥平面A1BD,需使MN∥D1E,又M是AD1的中点,∴N是AE的中点.又易知△ABN≌△EDN,∴AB=DE,即E是DC的中点.综上所述,当E是DC的中点时,可使D1E∥平面A1BD.知识总结:利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线,然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结:转化思想,即把面面关系转化为线面关系,把空间问题转化为平面问题.