高中数学人教a版必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件

2．3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定 1．下面四个命题，其中真命题的个数是()B①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④平行于同一直线的两条直线平行．B．3个D．1个A．2个C．4个解析：②、③、④正确． 2．下列命题(a、b表示直线，α表示平面)中的真命题是()A3．下列命题中，假命题是()DA．过一点有一个平面与已知直线垂直B．过一点至多只有一个平面与已知直线垂直C．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直D．过一点可能有两个平面与已知直线垂直 4．直线l和平面α内无数条直线垂直，则()DA．l和α相互平行B．l和α相互垂直C．l在α内D．不确定解析：直线l和平面α内无数条直线垂直，可能是l∥α，l⊂α，或l和α相交(也可能垂直)，即l和α的位置关系不确定． 重点线面垂直的判定1．判定直线和平面是否垂直，通常有三种方法：(1)定义法：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.l－平面α的垂线，α－直线l的垂面，它们的唯一公共点P叫做垂足(线线垂直→线面垂直)；(2)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直．用符号语言表示为：若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m⊂α，n⊂α，则l⊥α；(3)若两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面． 2．根据线面垂直的定义知：线面垂直可以得到大量线线垂直；由线面垂直的判定定理知：要得到线面垂直就需要线线垂直．要深切体会线面垂直与线线垂直的相互转化．3．定理：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．难点直线与平面所成的角斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角．求直线和平面所成的角，一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作(作出线面角)→证(证所作为所求)→求(解直角三角形)”．通常，过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，并连接垂足和斜足是产生线面角的关键． 线面垂直判定定理的应用例1：已知：如图1，空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，取BC中点E，连接AE、DE，求证：BC⊥平面AED.图1证明：∵AB＝AC，DB＝DC，E为BC中点，∴AE⊥BC，DE⊥BC.又∵AE与DE交于E，∴BC⊥平面AED.由判定定理可知要证明直线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两条相交直线垂直即可． 下面结论成立的是()1－1.如图2(1)，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图2(2))，使G1、G2、G3三点重合于点G，(1)(2)图2A．SG⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFB．SD⊥平面EFGD．GD⊥平面SEF解析：在题图(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，在题图(2)中，SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG.A 1－2.如图3，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，E是PC上的任一点(除P和C点外)，证明：CD⊥AE.图3证明：在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A.∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. 直线与平面所成的角例2：如图4，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角．图4解：连接BC1交B1C于O，连接A1O，在正方体ABCD－A1B1C1D1中各个面为正方形，设其棱长为a. ⇒A1O为A1B在平面A1B1CD内的射影⇒∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．⇒A1B与平面A1B1CD所成的角为30°. 求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：(1)先判断直线和平面的位置关系．(2)当直线和平面斜交时，常有以下步骤：①作——作出或找到斜线与射影所成的角；②证——论证所作或找到的角为所求的角；③算——常用解三角形的方法求角；④结论——说明斜线和平面所成的角值． 图52－1.如图5，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为() A2－2.若斜线段AB是它在平面α内的射影长的2倍，则AB与α所成的角为()A．60°B．45°C．30°D．120°答案：D解析：如图22，连接A1C1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角．图22 证明：∵PA⊥⊙O所在平面，BC⊂⊙O所在平面，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O直径，∴AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE，∵AE⊥PC,PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.线面垂直判定定理的应用例3：如图6，已知PA⊥⊙O所在平面，AB为⊙O直径，C是圆周上任一点，过A作AE⊥PC于E，求证：AE⊥平面PBC.图6 3－1.PA是垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上)B异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是(A．PA⊥BCB．AC⊥PBC．BC⊥平面PACD．PC⊥BC 图7正解：∵PA⊥a，a∥b，∴PA⊥b.又∵AB⊥b，且PA∩AB＝A，∴b⊥平面PAB.又∵PB⊂平面PAB，∴PB⊥b.错因剖析：没有正确使用线面垂直的判定定理．例4：如图7，a∥b，点P在a、b所确定的平面外，PA⊥a于点A，AB⊥b于点B，求证：PB⊥b. 4－1.P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．(1)若PA＝PB＝PC，则O是△ABC的_____；(2)若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的_____；(3)若P到△ABC三边的距离相等，且O在△ABC内部，则O是△ABC的______；(4)若PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的_____．外心垂心内心垂心 解析：(1)如图23，∵PO⊥平面ABC，∴PA、PB、PC在平面ABC上的射影分别是OA、OB、OC.又∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.∴O是△ABC的外心．图23图24(2)如图24，∵PO⊥平面ABC，∴PA在平面ABC上的射影是OA.∵BC⊥PA，∴BC⊥OA.同理可证AC⊥OB，∴O是△ABC的垂心．故填垂心． (3)如图25，图25P到△ABC三边的距离分别是PD、PE、PF，则PD＝PE＝PF.∵PO⊥平面ABC，∴PD、PE、PF在平面ABC上的射影分别是OD、OE、OF.∴OD＝OE＝OF，且OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴O是△ABC的内心，故填内心． ∵PO⊥平面ABC，∴OA是PA在平面ABC上的射影．又∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.∴OA⊥BC.同理可证OB⊥AC.∴O是△ABC的垂心．故填垂心．(4)如图26，图26