《直线与平面垂直的定义与判定》教学案例

《直线与平面垂直的判定》教学案例1.学情分析在本节课之前学生已经学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质，具备了学习本节课所需的知识。同时已经有了“通过观察、操作等数学活动抽象概况出数学结论”的体会，参与知识、自主探究能力有所提高，对空间概念建立有一定基础，对于我校学生而言，他们的抽象概况能力、空间想象力还有待提高。2.教学课题2.1.课题：《直线与平面垂直的判定》教学案例2.2.教材：《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2》（人教A版）第二章，直线、平面垂直的判定及其性质第一课时3.教材分析1.2.3.3.1.内容分析《直线与平面垂直的判定》是高中新教材人教A版必修2第2章2.3.1的内容，本节课主要学习线面垂直的定义、判定定理及定理的初步运用。直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，是空间中线线垂直位置关系的拓展。它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！因此线面垂直是空间中垂直位置关系间转化的重心，它是点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。在教材中起到承上启下的作用。3.2.教学目标（1）知识与技能：通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理；并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。（2）过程与方法：通过线面垂直8 定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。（3）情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。1.1.教学重点与难点(1)教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。(2)教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。1.教学过程复习回顾教学内容设计意图或教师总结一条直线与一个平面垂直的意义是什么？门轴AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直，与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直（如图1），由此引入新课。图1由门轴、路灯杆与地面的垂直引出空间几何中直线与平面的垂直，让学生了解垂直、感知垂直，建立垂直的几何感以此引出线面垂直的概念。新课讲授教学内容设计意图或教师总结一、直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面垂直，记作。直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。（如图2）由问题引入切入本阶段，给出线面垂直的定义。8 图2由定义可知：任意，若。探究：除定义外,如何判定一条直线与平面垂直呢？（让学生分组实验，大胆讨论猜想，借助桌面、笔、三角板等进行探究实验）如图3探究1：如果直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直？探究2：如果直线与平面内的两条直线垂直，则直线与平面垂直？（a.两条直线平行；b.两条直线相交。）探究3：如果直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直？学生大胆讨论猜想，借助桌面、笔、三角板等进行探究实验，有助于帮助学生重建线面垂直概念、初步形成线面垂直的判定定理，由此引入课程下阶段。8 图3总结：线不在多，贵在相交。观看图片，总结线面垂直的判定定理。一、线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。（如图4）数学符号语言图4线面垂直的几种情况：本阶段的设计由上阶段引入，总结探究、形成概念，让学生对线面垂直的判定定理、判定方法有了进一步的认识——线面垂直的判定本质上是由线线垂直向线面垂直的一个过渡。8 应用示例教学内容设计意图或教师总结例1.如图，已知，求证：。证明：在平面内作两条相交直线，因为，根据直线与平面垂直的定义知，又因为所以，又是两条相交直线所以。例2：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)请列举与平面ABCD垂直的直线；（直线AA1，BB1，CC1，DD1）(2)请列举与直线A1A垂直的平面；（平面ABCD,平面A1B1C1D1）(3)你还能找出一条与平面D1DBB1垂直的直线吗?（直线AC,A1C1）例3：如图,在三棱锥V-ABC中,VA＝VC,本题为进一步了解线面垂直的判定定理而设计，向学生展示证明线面垂直的一般方法及具体步骤。由简单的空间几何图出发寻找垂直。8 AB＝BC,K是AC的中点。求证：(1)AC⊥平面VKB(2)AC⊥VB(1)证明：(2)证明：由（1）得例4.如图,三角形ABC为Rt△,∠C=90º,PA⊥面ABC。求证:(1)BC⊥面PAC(2)BC⊥PC本题即考察了线面垂直的判定，又引出了证明线线垂直的另一种方法，实现了线线垂直与线面垂直之间的转化。本题与例3大致相同，由学生上黑板板书。注：例2、3、4配套几何画板文件，过程板书或者学生上黑板写出。8 课堂小结教学内容设计意图或教师总结1.线面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面垂直，记作。直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。2.线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。3.常用结论发散（1）过一点有且仅有一条直线和一个平面垂直。（2）过一点有且仅有一个平面和一条直线垂直。（3）如果两直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。小结由学生总结讨论。课后作业练习册P123-P1241.教学反思8 对于高中的学生已经具备一定的自主探究和合作能力。因此课前先安排学生上网查阅有关"直线与平面垂直"的图片资料，然后在网上师生进行交流，教学中，安排学生以小组为单位讨论交流，对线面垂直定义和定理进行抽象概括，指导学生动手操作手中的三角板和笔加深概念的本质理解，操作折纸实验完成定理的探究。从中体现出学生活跃的思维、浓厚的兴趣、强烈的参与意识和自主探究能力。1．满意的地方：在整个教学过程中，能不断激发学生探索新知的欲望，较充分体现了课程标准所提出的培养学生探究性学习和再创造的思维能力的要求。2．教学中的不足：在课堂组织与指导过程中，学生实施探究与证明的过程开展较为顺利；由于开放性问题难度较大，导致在最后一个探究问题上学生无法消化，未达到预期效果。应给学生更充裕的讨论与思考空间。可以鼓励小组课前带着问题预习并合作探究，使学生在课堂上能更充分发表自己合作讨论的结果，加强组间互助与沟通。8