高中数学第二章2.3.1直线与平面垂直的判定知识导航学案

2.3.1直线与平面垂直的判定知识梳理1.如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α,其中,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.2.直线与平面垂直的判定定理:若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直,其符号表示为l⊥a,l⊥b,a∩b=P,aα,bαl⊥α.3.画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一条边垂直.4.若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.知识导学线面垂直的判定定理同线面平行、面面平行的判定定理的获得过程类似,即都是通过直观感知、操作确认概括出来的.由于平面内有无数条直线,所以利用线面垂直的定义去证明线面垂直是困难的,判定定理则解决了这一困难.使用判定定理时,要牢牢把握住“两条相交直线”这一条件,显然两条平行线也能确定一个平面,但它具有“传递性”,所以不能用它来证明线面垂直.疑难突破1.如何理解直线与平面的垂直？剖析:如果一条直线l和平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l和平面α互相垂直,记作l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.这当中需要注意的问题有:(1)和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式.(2)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难,但在直线和平面垂直时,却可以得到直线和平面内的任何一条直线都垂直,给判定两条直线垂直带来方便,如若a⊥α,bα,则a⊥b,简述之,即“线面垂直,则线线垂直”,这是我们判定两条直线垂直时,经常使用的一种重要方法.画直线和水平平面垂直时,要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.如果直线l和平面α垂直,则记作l⊥α.如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直,就说这条直线和这个平面垂直.它的实质是说,这条直线与平面内的所有直线垂直,包括平面内与它相交的和异面的直线,无一例外,这个定义是证明线面垂直的判定定理的出发点和基础,但主要用途是:由“直线垂直于平面”的条件,得出“直线与平面”内的任何直线垂直的结论.尤其是由于它与平面内和它异面的直线垂直的结论不易被看出,常常会产生思维盲点,只有对定义深刻理解,才能避免这一问题的发生;和该直线相交垂直的关系应该在图形上标出,以便于我们观察、联想和推理、计算.定义中的“任何一条直线”的含义是所有,而不是无数.这里学习这一定义要防止两个错误:①一条直线垂直于一个平面内的一条直线,就垂直于这个平面.②一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,就垂直于这个平面.2.为什么我们一般不用定义证明直线与平面垂直,应用直线与平面垂直的判定定理有什么好处?其中的“两条相交直线”能不能改为“两条平行直线”?剖析:利用定义来判断直线与平面垂直是不方便的,因为“任意一条直线”是不方便研究的,因此根据确定平面的条件,找到两条相交直线便可确定一个平面:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.这里的“两条相交直线”不能改为“两条平行直线”,虽然两条平行直线也能确定一个平面,但当一条直线与平面内的一条直线异面且 互相垂直时,平面内必定有一条直线与它垂直,这时直线和平面是不一定互相垂直的.正方体、长方体的每一条棱都和相对的两个平面互相垂直.综上,直线与平面垂直的判定定理简言之就是:线线垂直,则线面垂直.但要注意,需有两条相交直线.因而证明线面垂直就是寻找两个线线垂直.直线和平面垂直的定义可看作是线面垂直的一条性质,如果有直线和平面垂直,那么这条直线就和这个平面内的所有直线都垂直.由线面垂直的定义可以得到两个作图的依据:过一点有且只有一条直线与一个已知平面垂直;过一点有且只有一个平面与一条已知直线垂直.由于两条相交直线可确定一个平面,所以可用“一条直线和平面内的两条相交直线垂直,则直线与平面垂直”作为考查的重点.显然两条平行线也能确定一个平面,因为根据公理4,它是具有“传递性”,即一条直线与平面的一条直线垂直,那么它和这个平面内平行于这条直线的所有直线都垂直,但不能保证与其他直线也垂直,这就是为什么不能用一条直线与平面内的两条平