直线与平面垂直的判定教学设计（谢国珍）

中国教育学会中学数学教学专业委员会2016年高中青年数学教师优秀课展示《直线与平面垂直的判定》教学设计江西省吉安市第三中学谢国珍课题直线与平面垂直的判定总课时1第一课时教学内容解析本节是北师大版高中数学必修2第一章第6节第一课时，是立体几何的核心内容之一，在学生学习了线面平行关系之后，是对学生“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认识过程的一个再强化。教学目标知识与技能通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理，并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。过程与方法通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。情感、态度与价值观通过播放天安门广场升旗仪式的视频，激发学生的爱国热情；通过线面垂直定义及定理的探究，让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。学生学情分析学生已经学习了直线和平面、平面和平面平行的判定及性质，学习了两直线（共面或异面）互相垂直的位置关系，有了“通过观察、操作并抽象概况等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力。教学策略分析采用“启发－探究”的教学方法，通过一系列的问题串及层层递进的的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究。帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现并且在充分理解判定定理的基础上能对其进行简单应用，能解决简单的直线与平面垂直的证明问题。在直线与平面垂直概念形成的过程中，构建“墙角的竖直棱为什么与地面垂直？”的问题情境，通过动画展示，在师生互动中，让学生认识到“墙角的竖直棱与地面内的所有直线都垂直”之后，得出直线与平面垂直的定义。通过小组讨论“为什么比萨斜塔看起来与地面不垂直？”得出“只要地面内有一条直线与比萨斜塔所在直线不垂直，那么比萨斜塔所在直线与地面所在平面不垂直。”这就从正反两方面说明了定义的合理性。在直线与平面垂直的判定定理的教学中，以长方体模型为载体，引导学生观察长方体中的线面关系，再让学生动手实践，折叠三角形纸片。学生经历了直观感知、操作确认的过程后，最后归纳出直线与平面垂直的判定定理。 教学重点通过直观感知、操作确认概括直线与平面垂直的定义和判定定理。教学难点对直线与平面垂直的判定定理的理解。教学过程教学内容备课扎记教师活动学生活动通过动画展示，在师生互动中，让学生认识到 “墙角的竖直棱与地面内的所有直线都垂直”之后，得出直线与平面垂直的定义。将“异面直线垂直”转化为“相交直线垂直”，很好地渗透了类比、转化、降维等数学思想方法。 从一条直线到两条直线的讨论，符合学生的思维习惯，在学生的最近发展区设问。 以长方体模型为载体，引导学生观察长方体中的线面关系，再让学生动手实践，折叠三角形纸片。学生经历了直观感知、操作确认，最后归纳出直线与平面垂直的判定定理回答了本节课导入中提出的问题，使整节课前后照应。 一、课题导入1.播放天安门广场五星红旗徐徐升旗的视频。问题1：最近我们学校准备立一根新的旗杆，怎样检验旗杆与地面是不是垂直的呢？引导学生将旗杆抽象成一条直线，地面抽象成一个平面，得出这就是“如何判定直线与平面是否垂直”的问题，也就是今天我们要研究的课题，从而引出新课。2.直观感知问题2：你能举出生活中直线与平面垂直的例子吗？引导学生找一找生活中直线与平面垂直的实例。（多媒体展示图片）二、探索新知1.问题提出生活中有如此多直线与平面垂直的实例，那么如何用语言描述直线与平面垂直的关系呢？组织学生观看多媒体动画师生共同观看天安门广场升旗仪式的视频，激发学生的爱国热情。通过创设适当的问题情境，使学生自然地关心起学校这个集体，培养学生的集体主义精神。学生举例后，观看图片，直观感知直线与平面垂直的现象并能与生活实际相联系。：小实验（拿一块教学用的直角三角板，放在墙角，使三角板的直角顶点C与墙角重合，直角边AC所在直线与墙角所在直线重合，将三角板绕AC转动，在转动过程中，直角边CB与地面紧贴，这就表示，AC与地面垂直）问题1：在转动过程中，BC边与地面是什么位置关系？问题2：在转动过程中，BC边一直在移动，而AC边与BC边所成角度是否会发生改变呢？问题3：AC边与地面任意一条不过C点的直线又是什么位置关系？2．归纳概括直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。图形语言表示：符号语言表示：3.辨析思考将这个定义中的“任何一条直线”换成“所有直线”这个命题还成立吗？换成“无数条直线”呢？4.正反对比，深化理解认真观看动画，思考教师提出的问题，从而概括出直线与平面垂直的定义。小组讨论提出的问题，结合动画展示，学生抽象出直线与平面垂直的定义。组织学生课堂辨析判断，加深对直线与平面垂直的定义的理解。问题1：你能举出生活中直线与平面相交但不垂直的例子吗？（学生举例后，教师展示比萨斜塔图片）问题2：为什么比萨斜塔看起来和地面不垂直呢？5.探究思考显然，根据定义判定直线与平面垂直，需要判定直线与平面内“任何一条直线”即“所有直线”都垂直。而事实上这往往是难以实现的，我们可否寻求一个更为简便的方法，用有限条直线来代替所有直线？例1已知∥b.求证:b你能用文字语言叙述这个命题吗？5.观察图形，发现定理观察下图，回答下面的问题（1）如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和平面垂直？（2）如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此直线是否和平面垂直？6.动手实践学生通过讨论，从正反两方面体会定义的合理性通过这个例题让学生巩固直线与平面垂直的定义，同时叙述该命题，从而得出一个重要结论。借助长方体让学生直观的感知线面垂直的关系。请准备一块三角形的纸片，沿△ABC的高AD翻折纸片，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），此时折痕AD与桌面垂直吗？如果AD不是△ABC的高，此时AD与桌面还会垂直吗？7.抽象概括直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。图形语言表示：符号语言表示：8.辨析思考（1）书脊AB与桌面有什么关系，为什么？（展示直立在桌面上的书的图片）（2）如何检验旗杆与水平地面是否垂直？三、数学应用，巩固深化例2如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，点P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC。问：△PBC是什么三角形？并证明你的结论。P在教师的引导下动手实践，从而发现当且仅当折痕AD⊥BC时，翻折后AD所在直线与桌面所在平面垂直，继而概括出直线与平面垂直的判定定理。巩固理解判定定理，体会数学在生活中的应用。分析：直线与平面之间的垂直关系，可以相互转化。当线面垂直时，线就会垂直于面内的所有线；当一条直线垂直于一AC个平面内的两条相交直线时,这条直线就垂直于这个平面。B练习如图,M是菱形ABCD在平面外一点,满足MA=MC求证:AC⊥平面BDMMDCOAB四、内容小结1、本节课你学会了哪些判定直线与平面垂直的方法？（1）定义法：强调是“任何一条直线”（2）判定定理法：必须是“两条相交直线”。2、直线与平面垂直的判定定理中体现了什么数学思想方法？转化的思想任何一条两条相交线面垂直线线垂直五、课后作业必做:教材P42第1,2,5题，对直线与平面垂直的定义及判定学会简单应用，体会转化的数学思想。对直线与平面垂直的定义及判定学会简单应用，体会转化的数学思想。梳理本节课的主要内容，优化学生的知识结构。 选做:教材P43B组第2题。