直线、平面垂直判定和性质080615

http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网直线、平面垂直的判定与性质080615一、考题选析：例1、（05北京春）如图，正三角形的边长为3，过其中心作边的平行线，分别交于、。将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段的中点。求：（1）二面角的大小；（2）异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）。例2、（04重庆）设是的二面角内一点，分别为垂足，则的长为：（）A、B、C、D、例3、（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，平面⊥底面。（Ⅰ）证明⊥平面；（Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小。方法一：（Ⅰ）证明：（Ⅱ）解：取VD的中点E，连结AE，BE∵VAD是正三角形∴AE⊥VD，AF=AD∵AB⊥平面VAD∴AB⊥AE又由三垂线定理知BE⊥VD因此，是所求二面角的平面角于是，即得所求二面角的大小为方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系。http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网 http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网（Ⅰ）证明：不妨设，则，由，得又，因而与平面内两条相交直线都垂直。∴平面（Ⅱ）解：设为中点，则由，得，又因此，是所求二面角的平面角。∵∴解得所求二面角的大小为。二、考题精练：（一）选择题：1、（05天津）设、、为平面，为、、直线，则的一个充分条件是A、B、C、D、（二）填空是：2、（05山东）在平面几何里，有勾股定理：“设的两边互相垂直，则有，。”拓展到空间，类比平面几何的定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则。（三）解答题：3、（07海南）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值。http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网 http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网证明：（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而．所以为直角三角形，．又．所以平面．（Ⅱ）解法一：取中点，连结，由（Ⅰ）知，得．为二面角的平面角．由得平面．所以，又，故．所以二面角的余弦值为．解法二：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．设，则．的中点，．．故等于二面角的平面角．，http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网 http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网所以二面角的余弦值为．4、（06山东）如图，已知平面平行于三棱锥的底面，等边所在的平面与底面垂直，且，设。（1）求证直线是异面直线与的公垂线；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的大小。解法1：（Ⅰ）证明：∵平面∥平面，又∵平面⊥平面，平面∩平面，∴⊥平面，，又，.为与的公垂线.（Ⅱ）解法1：过A作于D，∵△为正三角形，∴D为的中点.∵BC⊥平面∴，又，http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网 http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网∴AD⊥平面，∴线段AD的长即为点A到平面的距离.在正△中，.∴点A到平面的距离为.解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=.由（Ⅰ）知，设A到平面的距离为x，，即，解得.即A到平面的距离为.则所以，到平面的距离为.(III)过点作于，连，由三重线定理知是二面角的平面角。在中，。。所以，二面角的大小为arctan.解法二：取中点连,易知底面，过作直线交。http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网 http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则。（I），，，。又由已知。，而。又显然相交，是的公垂线。（II）设平面的一个法向量，又由取得点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。，设所求距离为。则http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网 http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网所以，A到平面VBC的距离为.（III）设平面的一个法向量由取二面角为锐角，ACBPFE图3所以，二面角的大小为5、（05广东）如图3所示，在四面体中，已知，．是线段上一点，，点在线段上，且．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的大小．【答案】(Ⅰ)证明：在中，∵∴∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．在中，∵∴∴又∵∴http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网 http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网（II）解法一：由（I）知PB⊥CE，PA⊥平面ABC∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE∴CE⊥平面PAB，而EF平面PAB，∴EF⊥EC，故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角，∵∴，∴二面角B—CE—F的大小为．解法二：如图，以C点的原点，CB、CA为x、y轴，建立空间直角坐标系C－xyz，则ACBPFE，，，，∵为平面ABC的法向量，为平面ABC的法向量，∴，∴二面角B—CE—F的大小为．http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网