高中数学人教a版必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 直线与平面垂直的判定 习题

2.3.1直线与平面垂直的判定及其性质一、选择题1．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是(  )A．平行B．垂直C．在平面α内D．无法确定解析：选D 当平面α内的两条直线相交时，直线l⊥平面α，即l与α相交，当面α内的两直线平行时，l⊂α或l∥α或l与α斜交．2．下列说法中正确的个数是(  )①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α.②若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α.③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.A．3B．2C．1D．0解析：选B 对于①不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，②③是正确的．3.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(  )A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析：选C 连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是(  )A.B．2C．3D．4解析：选D 如图所示，作PD⊥BC于D，连AD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CD.∴CB⊥平面PAD，∴AD⊥BC.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4.5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为(  )A.B. C.D.解析：选D 如图，设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O1、O，则OO1∥BB1，O1O与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角，即∠O1OD1，cos∠O1OD1＝＝＝.二、填空题6.在三棱锥VABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件________时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)解析：只要VC⊥面VAB，即有VC⊥AB；故只要VC⊥VA，VC⊥VB即可．答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证VC⊥AB即可)7.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有_________________________________；(2)与AP垂直的直线有_____________________________________________________．解析：(1)∵PC⊥面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.∴PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC (2)BC8.正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为________．解析：连接A1C1，交B1D1于E，则A1C1⊥B1D1，即A1E⊥B1D1.又DD1⊥A1C1，即DD1⊥A1E，∴A1E⊥平面BB1D1D.连接BE，则∠A1BE是A1B与对角面BB1D1D所成的角．在Rt△A1BE中，∵A1E＝A1B，∴∠A1BE＝30°，即A1B与对角面BB1D1D所成的角为30°.答案：30°三、解答题9.如图，在直角三角形BMC中，∠BCM＝90°，∠MBC＝60°，BM＝5，MA＝3且MA⊥AC，AB＝4，求MC与平面ABC所成角的正弦值．解：因为BM＝5，MA＝3，AB＝4，所以AB2＋AM2＝BM2，所以MA⊥ AB.又因为MA⊥AC，AB、AC⊂平面ABC，且AB∩AC＝A，所以MA⊥平面ABC，所以∠MCA即为MC与平面ABC所成的角．又因为∠MBC＝60°，所以MC＝，所以sin∠MCA＝＝＝.10.如图，在锥体P－ABCD中，ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD，E，F分别是BC，PC的中点．证明：AD⊥平面DEF.证明：取AD的中点G，连接PG，BG.∵PA＝PD，∴AD⊥PG.设菱形ABCD边长为1.在△ABG中，∵∠GAB＝60°，AG＝，AB＝1，∴∠AGB＝90°，即AD⊥GB.又PG∩GB＝G，∴AD⊥平面PGB，从而AD⊥PB.∵E，F分别是BC，PC的中点，∴EF∥PB，从而AD⊥EF.又DE∥GB，AD⊥GB，∴AD⊥DE，∵DE∩EF＝E，∴AD⊥平面DEF.