2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质

第三课时直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.2．过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；3．情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.（二）教学重点、难点两个性质定理的证明.（三）教学方法学生依据已有知识和方法，在教师指导下，自主地完成定理的证明、问题的转化.教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题1：判定直线和平面垂直的方法有几种？问题2：若一条直线和一个平面垂直，可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？师投影问题.学生思考、讨论问题，教师点出主题复习巩固以旧带新探索新知一、直线与平面垂直的性质定理1．问题：已知直线a、b和平面，如果，那么直线a、b一定平行吗？已知求证：b∥a.证明：假定b不平行于a，设=0b′是经过O与直线a平行的直线∵a∥b′，∴b′⊥a即经过同一点O的两线b、b′都与垂直这是不可能的，因此b∥a.2．直线与平面垂直的性质定理生：借助长方体模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间相互平行，所以结论成立.师：怎么证明呢？由于无法把两条直线a、b归入到一个平面内，故无法应用平行直线的判定知识，也无法应用公理4，有这种情况下，我们采用“反证法”师生边分析边板书.借助模型教学，培养几何直观能力.，反证法证题是一个难点，采用以教师为主，能起到一个示范作用，并提高上课效率. 垂直于同一个平面的两条直线平行简化为：线面垂直线线平行探索新知二、平面与平面平行的性质定理1．问题黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？2．例1设，=CD，，AB⊥CD，AB⊥CD=B求证AB证明：在内引直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角的平面角.由知，AB⊥BE,又AB⊥CD,BE与CD是内的两条相交直线，所以AB⊥3．平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直简记为：面面垂直线面垂直.教师投影问题，学生思考、观察、讨论，然后回答问题生：借助长方体模型，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，面A′ADD′⊥面ABCD，A′A⊥AD，AB⊥A′A∵∴A′A⊥面ABCD故只需在黑板上作一直线与两个平面的交线垂直即可.师：证明直线和平面垂直一般都转化为证直线和平面内两条交线垂直，现AB⊥CD，需找一条直线与AB垂直，有条件还没有用，能否利用构造一条直线与AB垂直呢？生：在面内过B作BE⊥CD即可.师：为什么呢？学生分析，教师板书本例题的难点是构造辅助线，采用分析综合法能较好地解决这个问题.典例分析例2师投影例2并读题 如图，已知平面，，直线a满足，，试判断直线a与平面的位置关系.解：在内作垂直于与交线的直线b，因为，所以因为，所以a∥b.又因为，所以a∥.即直线a与平面平行.例3设平面⊥平面，点P作平面的垂线a，试判断直线a与平面的位置关系？证明：如图，设=c，过点P在平面内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理有.因为过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线a与直线b垂合，因此.生：平行师：证明线面平行一般策略是什么？生：转证线线平行师：假设内一条直线b∥a则b与的位置关系如何？生：垂直师：已知，怎样作直线b？生：在内作b垂直于、的交线即可.学生写出证明过程，教师投影.师投影例3并读题，师生共同分析思路，完成证题过程，然后教师给予评注.师：利用“同一法”证明问题主要是在按一般途径不易完成问题的情形下，所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线不易想到，二是证直线b与直线a重合，相对容易一些，本题注意要分类讨论，其结论也可作性质用.巩固所学知识，训练化归能力.巩固所学知识，训练分类思想化归能力及思维的灵活性.随堂练习1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”错误的画“×”.（1）a．垂直于同一条直线的两个平面互相平行.（√）b．垂直于同一个平面的两条直线互相平行.（√）c．一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.（√）（2）已知直线a，b和平面学生独立完成巩固、所学知识 ，且a⊥b，a⊥，则b与的位置关系是.答案：b∥或b.2．（1）下列命题中错误的是（A）A．如果平面⊥平面，那么平面内所有直线垂直于平面.B．如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面.C．如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面.D．如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么.（2）已知两个平面垂直，下列命题（B）①一个平面内已积压直线必垂直于另一平面内的任意一条直线.②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题的个数是（）A．3B．2C．1D．03．设直线a，b分别在正方体ABCD–A′B′C′D′ 中两个不同的面所在平面内，欲使a∥b，a，b应满足什么条件？答案：不相交，不异面4．已知平面，，直线a，且，，a∥，a⊥AB，试判断直线a与直线的位置关系.答案：平行、相交或在平面内归纳总结1．直线和平面垂直的性质2．平面和平面垂直的性质3．面面垂直线面垂直线线垂直学生归纳总结，教材再补充完善.回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力.课后作业2.3第三课时习案学生独立完成固化知识提升能力备选例题例1把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？【解析】【评析】若BC与垂直，同理可得AB与也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直→线面垂直→线线垂直”．例2求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已知⊥r，⊥r，∩=l，求证：l⊥r．【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面、垂直．或由面面垂直的性质易在、内作出平面r的垂线，再设法证明l 与其平行即可．【证明】法一：如图，设∩r=a，∩r=b，在r内任取一点P．过点P在r内作直线m⊥a，n⊥b．∵⊥r，⊥r，∴m⊥a，n⊥（面面垂直的性质）．又∩=l，∴l⊥m，l⊥n．又m∩n=P，m，nr∴l⊥r．法二：如图，设∩r=a，∩r=b，在内作m⊥a，在内作n⊥b．∵⊥r，⊥r，∴m⊥r，n⊥r．∴m∥n，又n，m，∴m∥，又∩=l，m，∴m∥l，又m⊥r，∴l⊥r．【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键．证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化．此题是线线、面面垂直转化的典型题，通过一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的．