空间中直线与平面垂直判定方法

空间中直线与平面垂直的判定方法（济宁一中高一数学组贾广素邮编：272000）直线与平面的位置关系问题是立体几何部分重要的内容之一，一直是高考的重点和难点。直线和平面垂直，是直线和平面相交中的一种特殊情况，在历年的高考中常考不衰。因此，掌握好直线与平面垂直的判定方法就显得非常重要。下面我们就介绍几种判定直线与平面垂直的常用方法。（一）利用直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直。例1、如图1所示，在长方体中，棱与底面的关系是().图（1）A、平行B、斜交C、垂直D、平行或斜交从图形1上我们很容易地可以看出棱与底面内的任间一条直线都垂直，因此底面，从而选C。(二)利用直线与平面垂直的判定理（I）利用直线与平面垂直的判定理（1）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此直线垂直。图（2）例2、如图2所示，在三棱锥中，,G为边AC上的一点，且,求证：平面BCG。证明：如图所示，作 面ADC于点H，连接AH并延长交DC于点F，连接CH并延长交AD于点E.又，DG必过H点，即平面BGD。（三）利用直线与平面垂直的判定定理（II）直线与平面垂直的判定定理（II）：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。例3、如图3所示，已知PA矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且,求证：(1)MN//AE图（3）(2)MN平面PCD。证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN,则EN故AMNE为平行四边形，所以MN//AE。(2)PA矩形ABCD所在的平面，所以PAAB，又因为ADAB，所以AB面PAD,所以ABAE且AB//CD,AECD.又，E为PD的中点，所以AEPD.又,从而AE面PCD.由于(1)知MN//AE,从而MN平面PCD.（四）利用平面与平面平行的性质定理平面与平面平行的性质定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。例4、如图4所示，直三棱柱中，AC=BD，D为AB的中点，,求证：。证明：取A、的中点，连接、, 图（4）由是直三棱柱知,,且BC1..（五）利用平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内，垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。图(6)图（5）例5、如图5所示，在正方体中，求证：.,分析：如图6所示，连接BD,，设与的交点为O，连接BO，则平面由于与知,又在四边形中，,,从而,又因为 ，所以平面。易证知OB，从而。注：这种方法并不是最简单的，这道题还有其它更为简单的方法，在这儿只不是为了说明平面与平面垂直的性质定理的应用！由此可见，判定直线与平面垂直的方法不只是一种，我们在做题的过程中选用哪种方法，要视具体情况而定。