直线和平面垂直的判定和性质(习题)

直线和平面垂直的判定和性质（习题课） 一、概念回顾：1、直线和平面垂直的定义：如果直线和平面内的所有直线都垂直，则就说这条直线和这个平面垂直。2、直线和平面垂直的判定：如果直线和平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。3、直线和平面垂直的性质：（1）如果直线和平面垂直，则这条直线和这个平面内的所有直线都垂直。（2）垂直于同一平面的两条直线互相平行。4、唯一性定理：（1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。（2）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。 例1、已知直角△ABC所在平面外有一点P，且PA=PB=PC，D是斜边AB的中点，求证：PD⊥平面ABC.ABCPD证明：PA=PB，D为AB中点∴PD⊥AB，连接CD，∵D为Rt△ABC斜边的中点∴CD=AD,又PA＝PC,PD=PD∴△PAD≌△PCD而PD⊥AB∴PD⊥CD,CD∩AB=D∴PD⊥平面ABC 例2、如图平面α、β相交于PQ，线段OA、OB分别垂直平面α、β，求证：PQ⊥ABPQOAB证明：∵OA⊥αPQα∴OA⊥PQOB⊥β,PQβ∴OB⊥PQ又OA∩OB=0∴PQ⊥平面OAB而AB平面OAB∴PQ⊥AB 例3、如图空间四边形ABCD中，CD⊥BD、CD⊥AD，△ABC的平面内有一点P，过P在平面ABC内画一直线与CD垂直，应如何画？说明理由.ABCDP解：过P作EF∥AB即可，∵由已知可证CD⊥平面ABD而AB平面ABD，∴CD⊥AB，又EF∥AB∴EF⊥CD 例4、PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点.求证：AB⊥MNAPBCDMNO证明：连AC，取AC中点O，连MO和NO∵ABCD是矩形∴AB⊥MO又∵PA⊥平面ABCDAB平面ABCD∴PA⊥AB又由NO∥PA∴AB⊥NO∴AB⊥平面MON又MN平面MON∴AB⊥MN 例5、正方体AC1的棱长为a（1）求证：BD⊥平面ACC1A1（2）设P为D1D中点，求P到平面ACC1A1的距离.ABCDC1B1A1D1P证明：（1）AA1⊥ABAA1⊥ADAB∩AD=A∴AA1⊥平面ABCD又BD平面ABCD∴AA1⊥BD又AC⊥BDAA1∩AC=ABD⊥平面ACC1A1(2)DD1∥AA1DD1∥平面AA1CC1，AA1平面AA1CC1∴DD1∥平面AA1CC1∴P到平面ACC1A1的距离即为直线DD1到面ACC1A1的距离,也就是D到平面ACC1A1的距离，设AC∩BD=O，则即为DO的长度，∴P到平面ACC1A1的距离为 例6、如图：ABCD是矩形，AB=a，BC=b（a>b），沿对角线AC把△ADC折起，使AD⊥BC（1）求证：BD是异面直线AD与BC的公垂线（2）求BD的长ABCDABCD证明:(1)∵AD⊥CD，AD⊥BCCD∩BC=C，∴AD⊥平面BCD∴AD⊥BD且AD∩BD=D同理可证：BC⊥BD又BC∩BD=B，∴BD是AD与BC的公垂线.(2)∵AD=b,AB=a,在Rt△ABD中，BD= 例7、如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PCD是边长等于2cm的等边三角形，底面ABCD是面积为2cm2的菱形，∠ADC是锐角.求证：PA⊥CDABCDP证明：设∠ADC=θ，则：由SABCD=2,CD=BC=AB=AD=2，易得θ=60°∴△ACD是等边三角形，取CD中点E连AE、PE，则AE⊥CD，PE⊥CDAE⊥CD，PE⊥CD∴CD⊥平面PAE∴CD⊥PAE