直线平面垂直的判定及其性质教案

2.3直线、平面垂直的判定及其性质教案A第1课时教学内容：2.3.1直线与平面垂直的判定2.3.2平面与平面垂直的判定教学目标一、知识与技能1.掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；2.掌握直线和平面所成的角的求法；3.正确理解和掌握“二面角”“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平面互相垂直”的概念；4.掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用.二、过程与方法1.经历直线和平面垂直的定义的形成过程；探究判定直线与平面垂直的方法；2.经历直观感知“二面角”概念的形成过程；用类比方法思考“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.三、情感、态度与价值观1.学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.2.通过经历概念的形成、发展和应有的过程，知道数学存在于现实生活周围，形成积极思维，发展观察、分析、解决问题的能力.教学重点、难点教学重点1.直线与平面垂直的定义和判定定理；2.直线和平面所成的角；3.平面与平面垂直的判定.教学难点1.直线与平面垂直判定定理的探究；2.如何度量二面角的大小.教学关键理解并掌握直线与平面垂直的定义和判定定理、直线与平面垂直判定定理，会应用两个判定定理解决简单的线面垂直、面面垂直问题.教学突破方法通过学生观察大量的空间几何体的实例，先感性地认识两个定理，然后通过严格的证明来理解两个定理，利用针对性较强的习题来巩固两个定理．对于本节的线面角和二面角的概念，需首先掌握其定义，其次了解其求法.教法与学法导航教学方法问题教学法，讨论法，练习法．33 通过提出问题，学生观察空间实物及模型，先独立思考可判定线面垂直、面面垂直的条件，然后相互讨论、交流，最后得出完整结论.学习方法自主学习，自主探究，互动学习，合作交流，动手实践，观察探究，归纳总结．在学生观察大量空间几何体实例的基础上，通过老师的启发诱导，归纳总结得到线面垂直、面面垂直的条件，即两个判定定理.教学准备教师准备多媒体课件（用于展示问题，引导讨论，出示答案），空间几何体的模型或图片.学生准备线线垂直的概念.教学过程教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题：直线和平面平行的判定方法有几种？师投影问题，学生回答.生：可用定义可判断，也可依判定定理判断.复习巩固探索新知一、直线和平面垂直的定义、画法如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图.师：日常生活中我们对直线与平面垂直有很多感性认识，如旗杆与地面、桥柱与水面等，你能举出更多的例子来吗？师：在阳光下观察，直立于地面的旗杆及它在地面的影子，它们的位置关系如何？生：旗杆与地面内任意一条经过P的直线垂直.师：那么旗杆所在直线与平面内不经过P点的直线位置关系如何，依据是什么？（图）生：垂直，依据是异面直线垂直的定义.师：你能尝试给线面垂直下定义吗？……师：能否将任意直线改为无数条直线？学生找一反例说明.培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.续上表33 探索新知二、直线和平面垂直的判定1．试验如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.思考：能否将直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为“一条直线或两条平行直线”？师：下面请同学们准备一块三角形的小纸片，我们一起来做一个实验，（投影问题）.学生动手实验，然后回答问题.生：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直.师：此时与AD垂直的是一条直线还是两条直线？生：AD垂直于桌面两条直线，而且这两条直线相交.师：怎么证明？生：折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD．师：直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.典例剖析例1如图，已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.【证明】在平面内作两条相交直线m、n.因为直线a⊥，根据直线与平面垂直的定义知a⊥m，a⊥n.又因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n.又因为，m、n是两条相交直线，b⊥.师：要证b⊥，需证b与内任意一条直线的垂直，又a∥b，问题转化为a与面内任意直线m垂直，这个结论显然成立.学生依图及分析写出证明过程.……师：此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直.巩固所学知识培养学生转化化归能力、书写表达能力.33 续上表探索新知三、直线和平面所成的角如图，一条直线PA和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线的平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.教师借助多媒体直接讲授，注意直线和平面所成的角是分三种情况定义的.借助多媒体讲授，提高上课效率.典例剖析例2如图，在正方体ABCD–A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.【分析】找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.师：此题A1是斜足，要求直线A1B与平面A1B1CD所成的角，关键在于过B点作出（找到，面A1B1CD的垂线，作出（找到）面A1B1CD的垂线，直线A1B在平面A1B1CD内的射影就知道了，怎样过B作平面A1B1CD的垂线呢？生：连接BC1即可.师：能证明吗？学生分析，教师板书，共同完成求解过程.点拨关键点，突破难点，示范书写及解题步骤.典例剖析解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O.设正方体的棱长为a，因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1.所以A1B1⊥BC1.33 续上表又因为BC1⊥B1C，所以B1C⊥平面A1B1CD.所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.在Rt△A1BO中，，，所以，∠BA1O=30°，因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.探索新知四、二面角1．二面角（1）半平面平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.（2）二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedralangle）．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（3）二面角的求法与画法教师结合二面角模型，类比以上几个问题，归纳出二面角的概念及记法表示（可将角与二面角从图形、定义、构成、表示进行列表对比）.师生共同实验（折纸）思考二面角的大小与哪一个角的大小相同？这个角的边与二面角的棱有什么关系？生：过二面角棱上一点O在二面角的面上分别作射线与二面角的棱垂直，得到的角与二面角大小相等.师：改变O的位置，这个角的大小变不变.生：由等角定理知不变.通过模型教学，培养学生几何直观能力，通过类比教学，加深学生对知识的理解.33 续上表探索新知棱为AB、面分别为、的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P–AB–Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角或P–l–Q.2．二面角的平面角如图（1）在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.（2）二面角的平面角的大小与O点位置无关.（3）二面角的平面角的范围是[0，180°]（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.通过实验，培养学生学习兴趣和探索意识，加深对知识的理解与掌握.33 探索新知五、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的定义，记法与画法.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.学生自学，教师点拨一下注意事项.师：以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面，即，请同学给出面面垂直的判定定理.培养学生自学能力，通过实验，培养学生观察能力．33 续上表典例剖析两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面与垂直，记作⊥.2．两个平面互相垂直的判定定理，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.典例分析例3如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.【证明】设⊙O所在平面为，由已知条件，PA⊥，BC在内，所以PA⊥BC.因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC.又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条直线.所以BC⊥平面PAC.又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC⊥平面PBC.师：平面与平面垂直的判定方法有面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，而本题二面角A–PC–B的平面角不好找，故应选择判定定理，而应用判定定理证面面垂直的关键是在其中一个平面内找 （作）一条直线与另一平面垂直，在已有图形中BC符合解题要求，为什么？学生分析，教师板书．巩固所学知识，培养学生观察能力，空间想象能力，书写表达能力.小结1．直线和平面垂直的定义判定．2．直线和平面所成的角定义与解答步骤、完善.3．线线垂直线面垂直．学生总结、教师补充完善．回顾、反思、归纳，33 4．二面角的定义画法与记法.5．面面垂直的判定方法.提高自我整合知识的能力．课堂作业1．如图，在三棱锥V–ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC.2．过△ABC所在平面外一点P，作PO⊥，垂足为O，连接PA ，PB，PC.（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的.（2）若PA=PB=PC，则点O是△ABC的心.（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的心.3．两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？4．如图，直四棱柱A′B′C′D′–ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A′C⊥B′D′？5．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S–EFG中必有（）．A．SG⊥EFG所在平面B．SD⊥EFG所在平面C．GF⊥SEF所在平面D．GD⊥SEF所在平面6．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？参考答案：1．略2.（1）中点；（2）外；（3）垂．3.不一定平行.33 4．AC⊥BD.5.A6.面ABC⊥面BCD，面ABD⊥面BCD，面ACD⊥面ABC.第2课时教学内容：2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质教学目标一、知识与技能1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；2.能运用性质定理解决一些简单问题；3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.二、过程与方法在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识．三、情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明”，形成空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.教学重点、难点教学重点：两个性质定理的证明.教学难点：两个性质定理的证明.教学关键：引导学生掌握两个性质定理的证明，并且能够应用两个性质定理来证明较简单的线线垂直、线面垂直及面面垂直的相关问题.教学突破方法：本节主要使用启发式和探究式教学．使学生掌握两个性质定理的条件及结论，知道如何应用两个性质定理，在教师的示例引导下，在具体的解题过程中对两个定理进行巩固和提高.教法与学法导航教学方法：问题教学法，练习法，启发式教学．通过提出问题，学生思考并体会在线面垂直、面面垂直的条件下，可以得到什么结论，与上节的判定定理相对照．在理解两个定理的基础上，进行有针对性的练习.学习方法：自主探究，自主学习，互动学习，合作交流，动手实践，归纳总结.教学准备教师准备：多媒体课件（用于展示问题，引导讨论，出示答案）.学生准备：直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理.教学过程教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题1：判定直线和平面垂直的方法有几种？师投影问题.学生思考、讨论问题，教师点出主题．复习巩固，33 问题2：若一条直线和一个平面垂直，可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？以旧带新.续上表探索新知一、直线与平面垂直的性质定理1．问题：已知直线a、b和平面，如果，那么直线a、b一定平行吗？已知a⊥a，b⊥a，求证：b∥a.【证明】假定b不平行于a，设=O，b′是经过O与直线a平行的直线，∵a∥b′，a⊥a，∴b′⊥a，即经过同一点O的两线b、b′都与垂直这是不可能的，因此b∥a.2．直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行．简化为：线面垂直线线平行．生：借助长方体模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间相互平行，所以结论成立.师：怎么证明呢？由于无法把两条直线a、b归入到一个平面内，故无法应用平行直线的判定知识，也无法应用公理4，在这种情况下，我们采用“反证法”．师生边分析边板书．借助模型教学，培养几何直观能力，反证法证题是一个难点，采用以教师为主，能起到一个示范作用，并提高上课效率.33 探索新知二、平面与平面垂直的性质定理1．问题黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？教师投影问题，学生思考、观察、讨论，然后回答问题．生：借助长方体模型，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，面A′ADD′⊥面ABCD，A′A⊥AD，AB⊥A′A，∵，∴A′A⊥面ABCD．故只需在黑板上作一直线与两个平面的交线垂直即可.本例题的难点是构造辅助线，采用分析综合法能较好地解决这个问题.续上表探索新知2．例1设，=CD，，AB⊥CD，AB⊥CD=B，求证AB⊥β，【证明】在内引直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角的平面角.由知，AB⊥BE，又AB⊥CD，BE与CD是β内的两条相交直线,所以AB⊥β.3．平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．简记为：面面垂直线面垂直.师：证明直线和平面垂直一般都转化为证直线和平面内两条交线垂直，现AB⊥CD，需找一条直线与AB垂直，有条件还没有用，能否利用构造一条直线与AB垂直呢？生：在面内过B作BE⊥CD即可.师：为什么呢？学生分析，教师板书．33 典例分析例2如图，已知平面，，直线a满足，，试判断直线a与平面的位置关系.【解析】在内作垂直于与相交的直线b，因为α⊥β，所以b⊥β，因为α⊥β，所以a∥b.又因为，所以a∥.即直线a与平面α平行.师投影例2并读题．生：平行．师：证明线面平行一般策略是什么？生：先证明线线平行．师：假设内一条直线b∥a则b与的位置关系如何？生：垂直．师：已知，怎样作直线b？生：在内作b垂直于、的交线即可.学生写出证明过程，教师投影.师投影例3并读题，师生共同分析思路，完成证题过程，然后教师给予评注.巩固所学知识，训练分类思想化归能力及思维的灵活性.续上表典例分析例3设平面⊥平面，过点P作平面的垂线a，试判断直线a与平面的位置关系？【证明】如图，设=c师：利用“同一法”证明问题主要是在按一般途径不易完成问题的情形下，所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线不易想到，二是证直线b与直线a重合，相对容易一些，本题注意要分类讨论，其结论也可作性质用.33 ，过点P在平面内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理有.因为过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线a与直线b重合，因此.小结1．直线和平面垂直的性质．2．平面和平面垂直的性质．3．面面垂直、线面垂直、线线垂直的关系．学生归纳总结，教师再补充完善.回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力.课堂作业1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.a．垂直于同一条直线的两个平面互相平行.（）b．垂直于同一个平面的两条直线互相平行.（）c．一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.（）d.已知直线a，b和平面，且a⊥b，a⊥，则b∥.（）答案：a.√b.√c.√d.×2．（1）下列命题中错误的是（）．A．如果平面⊥平面，那么平面内所有直线垂直于平面B．如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C．如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D．如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么（2）已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线.②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题的个数是（）．A．3B．2C．1D．0答案：（1）A（2）B3．设直线a，b分别在正方体ABCD–A′B′C′D′中两个不同的面所在平面内，欲使a∥b，a，b应满足什么条件？33 答案：不相交，不异面．4．已知平面，，直线a，且，，a∥，a⊥AB，试判断直线a与直线的位置关系.答案：平行、相交或在平面内．5.把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？【解析】.6.求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已知⊥γ ，⊥γ ，∩=l，求证：l⊥γ．【证明】解法一：如图，设∩γ=a，∩γ=b，在γ内任取一点P．过点P在γ内作直线m⊥a，n⊥b．∵⊥γ，⊥γ，∴m⊥a，n⊥（面面垂直的性质）．又∩=l，∴l⊥m，l⊥n．又m∩n=P，m，nγ∴l⊥γ．解法二：如图，设∩γ=a，∩γ=b，在内作m⊥a，在内作n⊥b．33 ∵⊥γ，⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ．∴m∥n，又n，m，∴m∥β，又∩=l，m，∴m∥l，又m⊥γ，∴l⊥γ．教案B第1课时教学内容：2.3.1直线与平面垂直的判定教学目标1.经历并体验线面垂直的定义和判定定理的探究过程，并能应用定理进行简单的线面垂直的判定；2.增强对立体几何中文字语言、图形语言、符号语言的应用能力；3.领悟类比与转化的数学思想，亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，自主地思考问题、探究问题，增强学习数学的兴趣．教学重点、难点教学重点直线与平面垂直的定义、判定定理的探究教学难点1.体会“线面垂直”所包含的空间问题平面化；2.类比线面垂直的定义，分析“一条直线与平面内的任一直线垂直”所包含的一般性与特殊性的转化.教学过程一、从实际背景中感知直线与平面垂直的形象问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？设计意图：此问基于学生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”.问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明.33 设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例，直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义.二、提炼直线与平面垂直的定义问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？设计意图：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．1.阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？2.随着太阳的移动，影子BC的位置也会移动，而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?3.旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何？依据是什么？设计意图：第1与2两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第3问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念.（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？（对问（1）在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示；对问（2）可引导学生给出符号语言表述：若l⊥α，a⊂α，则l⊥a）设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念．通过对问题（2）的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法.通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验．这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法.三、探究直线与平面垂直的判定定理创设情境 猜想定理：某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）．如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什么吗？33 设计意图：引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，猜想判定定理.师生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）问题5：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？（组织学生动手操作、探究、确认）设计意图：通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且B、D、C不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直（如图2），其他位置都不能使AD与桌面垂直.  问题6：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线l，把BD、CD抽象为直线m，n，把桌面抽象为平面α（如图3），那么你认为保证直线l与平面α垂直的条件是什么？对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内.问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线）设计意图：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内，从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词：平面内两条相交直线.问题7：如果将图3中的两条相交直线m、n的位置改变一下，仍保证l⊥m，l⊥n，（如图4）你认为直线l还垂直于平面α吗？设计意图：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的.根据试验，请你给出直线与平面垂直的判定方法.  （学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化）33   问题8：（1）和直线与平面垂直的定义相比，你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?  （2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?   设计意图：通过和直线与平面垂直定义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学思想，通过寻找定义与判定定理的共同点，感悟和体会“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想.  思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？设计意图：用学到手的知识解释实际生活中的问题，增强学生用数学的意识，同时通过提出“为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？”（对该问题可引导学生用三角形纸片来验证），从而来深化对直线与平面垂直判定定理的理解.  四、直线与平面垂直判定定理的应用如图5，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？思考：P65如图6，已知a∥b，a⊥α，则b⊥α吗？请说明理由.（分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明；并让学生用语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面）设计意图：这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题，这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系.练习：P67如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，K是AC的中点.求证：AC⊥平面VKB．思考：（1）在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；（2）在⑴中，若E、F分别是AB、BC的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；（3）在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC，VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，对吗？ 设计意图：例2重在对直线与平面垂直判定定理的应用．33 变式（1）在例2的基础上，应用了直线与平面垂直的意义；变式（2）是对例1判定方法的应用；变式（3）的判断在于进一步巩固直线与平面垂直的判定定理.3个小题环环相扣，汇集了本节课的学习内容，突出了知识间内在联系和融会贯通.五、归纳小结（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？（3）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？六、尝试练习1．课本P66探究：如图2.3-7，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A1C⊥B1D1．2．如右图，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形.3．课本P67练习2． 第2课时教学内容：2.3.2平面与平面垂直的判定教学目标一、知识与技能1.理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；2.掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用．二、过程与方法1.经历直观感知“二面角”概念的形成过程；2.类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理．三、情感、态度与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，感受数学存在于观实生活周围，从中形成积极思维，发展观察、分析、解决问题能力．教学重点、难点教学重点：平面与平面垂直的判定．教学难点：如何度量二面角的大小．33 学法与教学用具.1. 学法：实物观察，类比归纳，语言表达．2. 教学用具：二面角模型（两块硬纸板）．教学过程一、创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察，研探.二、研探新知1.二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）角二面角图形A边顶点O边BA棱lβB  α定义从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形构成射线—点（顶点）一射线半平面一线（棱）一半平面表示∠AOB二面角α-l-β或α-AB-β2.二面角的度量二面角定理反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上任取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如下图），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角.教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥l”，OB⊥l；（2）∠AOB的大小与点O在l上位置无关；33 βBlOαA（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.三、变式训练、巩固提高例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.变式1：图中还有哪些平面互相垂直?变式2：增加条件，求证：平面AEF⊥平面PAC．变式3：增加条件：在AB上取一点D，且AD=1，BD=3，AC=2，求证：平面PCD⊥平面PAB．变式4：如何在PC上找一点D，使得平面ABD⊥平面PBC．变式5：若点Q由点A运动到点P时，平面QAC和平面QCB所成的二面角（）．A.变得越来越小B.变得越来越大C.不变D.在变，但总是锐角四、小结归纳，整体认识1.二面角以及平面角的有关概念；2.两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？五、布置作业P73习题2.3A，1，2，3，4.第3课时教学内容：2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质教学目标一、知识与技能1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；2.能运用性质定理解决一些简单问题；3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.二、过程与方法1.在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；2.经历线面垂直和面面垂直性质定理的推理论证过程.三、情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认，推理证明”33 ，获得空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.教学重点、难点两个性质定理的证明.学法与用具学法：直观感知、操作确认，猜想与证明.用具：长方体模型.教学设计一、创设情景，揭示课题问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探.（自然进入课题内容）二、研探新知1.操作确认观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系．如图1，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？A′BACC′B′DD′abα图1图22.推理证明已知：a⊥α，b⊥α（如图2），求证：a∥b．我们先分析一下：a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明什么呢？（它们共面），然后再用什么定理来证明呢？（直线平行判定定理），但这个命题的条件比较简单，同学们思考一下要证明它们共面容易吗？（证明a、b共面就很困难，更何况还要证明平行.）我们能否从另一个角度来证明呢？比如，a、b不平行会有什么矛盾？如果a、b不平行能产生矛盾的话，我们是不是能说明a、b是平行的了．这就是我们以前学过的33 “反证法”.（提问）反证法的一般步骤是什么？（否定结论à推出矛盾à肯定结论）.下面我们用“反证法”来探讨这个逆命题是否成立：第一步，我们做一个反面的假设，假定b与a不平行.第二步，现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系，我们看回到例题2，在这个直线与平面垂直的判定定理的已知条件中，平面有一条垂线，垂线有一条平行线，再看回我们所作的图中，我们还缺少一条平行线，因此需要添加一条辅助线.第三步，【证明】假定b与a不平行，设b∩α＝O，作b′是经过点O与直线a平行的直线，∵a∥b′，a⊥α，∴b′⊥α，经过同一点O的两条直线b，b′都垂直于平面α是不可能的，因此，a∥b．我们现在得到了直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.三、探究巩固探究：设直线a，b分别在正方体ABCD—A′B′C′D′中两个不同的平面内，欲使b∥a，a、b应满足什么条件？【分析】结合两直线平行的判定定理，考虑a、b满足的条件.【解析】a、b满足下面条件中的任何一个，都能使b∥a，（１）a、b同垂直于正方体的一个面；（２）a、b分别在正方体两个相对的面内且共面；（３）a、b平行于同一条棱；（４）如图，Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别为B′C′、ＣC′、ＡA′、ＡＤ的中点，EＦ所在直线为a，ＧＨ所在直线为b，等.四、类比拓展，研探新知类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？引导学生观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．然后师生互动，共同完成性质定理的确认与证明，并归纳性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.五、巩固深化、发展思维思考1：设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？我们知道，过一点只能作一条直线与已知平面垂直，因此，如果过一点有两直线与平面垂直，那么这两条直线重合.33   如右图，设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c，根据平面垂直的性质定理有b⊥β.  因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a与直线b重合，因此，有aα.思考2：如图，已知平面α，β满足α⊥β，直线a满足a⊥β，aα，试判断直线a与平面α的位置关系.【解析】在α内作垂直于α与β相交的直线b，因为α⊥β，所以b⊥β，因为a⊥β，所以a∥b，又因为aα，所以a∥α，即直线a与平面α平行.六、归纳小结，课后巩固1．请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？2．类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？七．布置作业P73习题2.3A组：5，6，7，8，9．P74习题2.3B组：1，2，3，4．第二章测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.给出下列语句:①桌面就是一个平面；②一个平面长3m，宽2m;③平面内有无数个点，平面可以看成点的集合;④空间图形是由空间的点，线，面所构成的.其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.42.已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是（）A.1B.4C.1或3D.1或43.空间四边形ABCD（如右图）中，若AD⊥BC，BD⊥AD，则有（）A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC4.若a∥b，a⊥α，b∥β，则（）A.α∥βB.b∥αC.α⊥βD.a⊥β33 5.在空间四边形ABCD（如右下图）各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与GH相交于点P，那么（）A.点P必在直线AC上B.点P必在直线BD上C.点P必在平面DBC内D.点P必在平面ABC外6.下面四个命题：①若直线a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交；③若直线a∥b，b∥c，则a∥b∥c；④若直线a∥b，则a，b与直线c所成的角相等.其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．17.在正方体中（如右下图），与平面所成的角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°8.如下图，设四面体各棱长均相等，分别为AC、AD中点，则在该四面体的面上的射影是下图中的（）．EFADCBABCD9.如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为（）．33 A.1B.2C.3D.410.异面直线a与b分别在平面α，β内，α与β交于直线l，则直线l与a，b的位置关系一定是（）A.至少与a，b中的一条相交B.至多与a，b中的一条相交C.至少与a，b中的一条平行D.与a，b都相交11.在如下图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（）．12.三棱锥P-ABC的所有棱长都相等，D、E、F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）．A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAE33 C.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．已知两条相交直线，，∥平面，则与的位置关系是．14.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由过顶点的平面和直线构成的“正交线面对”的个数是______.15．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下四个命题:FEACBDNM①与平行；②与是异面直线；③与成60°；④与垂直.其中正确的有（写出所有正确命题的序号）.16．已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤．（1）当满足条件时，有；（2）当满足条件时，有．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）如图所示，将边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成二面角A-BD-C，使AC=a，求证：平面ABD⊥平面CBD.18.如图，在正方体中，、、分别是、、的中点.求证：平面∥平面.19.（12分）多面体P-ABCD33 的直观图及三视图如图所示，其中正视图、侧视图是等腰直角三角形，俯视图是正方形，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点.（1）求证：PA∥平面EFG；（2）求三棱锥P-EFG的体积.PABCDEF20．（12分）如右图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点（1）证明平面；（2）证明平面．21．（12分）如下图所示，正方形和矩形所在平面相互垂直，是的中点．（1）求证：；（2）若直线与平面成45o角，求异面直线与所成角的余弦值．22.（14分）.在几何体中，，⊥平面，⊥33 平面，，．（1）设平面与平面的交线为直线，求证：∥平面；（2）在棱上是否存在一点使得平面⊥平面．参考答案一、选择题1.选B.平面是不能定义的原始概念，具有无限延展性，无长度、厚度之分，空间中的点构成线、线构成面，所以四种说法中①②不正确.2.选D.当四点共面时，可形成平面四边形，确定一个平面.当四点不在同一平面内时，连接四点可形成四面体，可确定4个平面.3.选D.∵AD⊥BC，AD⊥BD，∴AD⊥面BCD，又AD⊂平面ADC，∴面ADC⊥面BCD.4.选C.∵a∥b，a⊥α，∴b⊥α，∵a∥b，b∥β，∴在β内有与b平行的直线，设为c，又∵b⊥α，∴c⊥α，又∵c⊂β，∴α⊥β.5.选A.∵EF∩GH=P，∴P∈EF，又∵EF面ABC，∴P∈面ABC，同理P∈GH，∴P∈面ACD，∴P在面ABC与面ACD的交线AC上.6.选C.①中a与c可能异面、相交或平行；②中a与c可能异面、相交或平行；③是平行公理；④显然正确.故③④正确.7.选D.如图，A1在平面BB1D1D上的射影为B1D1的中点O1，设正方体棱长为1，则A1B=，A1O1=，所以sin∠A1BO1=，因此与平面所成的角∠A1BO1=30°.8.选B.如图，因为点D在平面ABC上的射影为正三角形ABC的中心O，因此点F的射影为AO的中点F′，因此在该四面体的面上的射影是图B.33 9.选C.折叠后，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊥BD，AB平面ABD，∴AB⊥平面BCD，AB平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，∴AB⊥BC，同理CD⊥BD，CD平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又∵CD平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD，互相垂直的平面有：平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，平面ACD⊥平面ABD共3对.10.选A.若a，b与都不相交，∵a，共面，b，共面，∴a∥，b∥，∴a∥b与a，b异面矛盾，∴a，b都与不相交不可能，故A正确.11.选A.A中，∵CD⊥平面AMB，∴CD⊥AB;B中，AB与CD成60°角;C中，AB与CD成45°角;D中，AB与CD成角的正切值为.12.选C.∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF，A正确；∵BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE.又∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，B正确；∵BC⊥平面PAE，BC平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，D正确.二、填空题13．因为直线与平面α没有公共点，因此直线b不会在平面α内，即直线b在平面α外，所以直线b与平面α可能平行，可能相交.答案：相交或平行.14.正方体的一条棱对应着2个“正交线面对”，12条棱共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个.答案：3615．如图，作出正方体原图，容易在图形中得出，①②是错误的；因为CN∥BE，所以与所成角即为∠EBM=60°，而AF⊥BE，所以AF⊥CN.33 答案：③④16．（1）在所给条件①②③④⑤中，①②③是互斥的条件，即一个成立，另两个肯定不成立；④⑤也是互斥的条件.当具备条件③⑤时，成立；当具备条件②⑤时，.答案：（1）③⑤；（2）②⑤.三、解答题17.【证明】设原正方形的对角线AC和BD交于点O，则折叠后仍有AO⊥BD，CO⊥BD，∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角.∵AC=a，AO=CO=a，∴AC2=a2=AO2+CO2，∴∠AOC=90°，二面角A-BD-C是直二面角，即平面ABD⊥平面CBD.18.【证明】∵、分别是、的中点，∴∥，又平面，平面，∴∥平面，∴四边形为平行四边形，∴∥，又平面，平面，∴∥平面.又，∴平面∥平面.19.【证明】（1）方法一：如图，取AD的中点H，连接GH，FH.∵E、F分别为PC、PD的中点，∴EF∥CD.∵G、H分别为BC、AD的中点，∴GH∥CD，∴EF∥GH，∴E、F、H、G四点共面.∵F、H分别为DP、DA的中点，∴PA∥FH.∵PA平面EFG，FH平面EFG，∴PA∥平面EFG.方法二：∵E、F、G分别为PC、PD、BC的中点.∴EF∥CD，EG∥PB.∵CD∥AB，∴EF∥AB.∵PB∩AB=B，EF∩EG=E，∴平面EFG∥平面PAB.∵PA平面PAB，∴PA∥平面EFG.（2）由三视图可知，PD⊥平面ABCD，又∵GC平面ABCD，∴GC⊥PD.∵四边形ABCD为正方形，∴GC⊥CD.∵PD∩CD=D，∴GC⊥平面PCD.∵PF=PD=1，EF=CD=1，∴S△PEF=EF·PF=.33 ∵GC=BC=1，∴VP-EFG=VG-PEF=S△PEF·GC=××1=.PABCDEF20．【证明】（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在中，EO是中位线，∴PA//EO而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB（2）∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴．①同理：由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC，而平面PDC，∴．②由①和②推得平面PBC．而平面PBC，∴，又且，∴PB⊥平面EFD．21．【证明】（1）在矩形中，，∵平面平面，且平面平面，∴，∴.（2）由（1）知：，∴是直线与平面所成的角，即.设，取，连接，∵是的中点，∴，∴是异面直线与所成角或其补角.连接交于点，33 ∵，的中点，∴，∴.∴异面直线与所成角的余弦值为．22.【证明】（1）∵CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，∴CD//BE，∴CD//平面ABE，又l=平面ACD∩平面ABE，∴CD//l，又平面BCDE，CD平面BCDE，∴l//平面BCDE．（2）存在，F是BC的中点，下加以证明：∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥AF.AB=AC，F是BC的中点，∴，∴．∴，∴是面和面所成二面角的平面角.在△中，FD=，∴FD⊥FE，即，∴平面AFD⊥平面AFE.33