直线平面垂直的判定及其性质精

直线、平面垂直的判定及其性质【知识要点梳理】知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义　　如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.　2.直线和平面垂直的判定定理　　判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．　　　　　　　　　　　　　　　　　符号语言：　　特征：线线垂直线面垂直　知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角　　一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点三、二面角1.二面角定义　　平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.　　表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或7 .　　　　　　　　　　　　　　　　2.二面角的平面角　　在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条构成的角叫做二面角的平面角.　　　　　　　　　　　　　　　　　二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.知识点四、平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义　　两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.　　表示方法：平面与垂直，记作.　2.平面与平面垂直的判定定理　　判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.　　符号语言：　　图形语言：　　　　　　　　特征：线面垂直面面垂直　知识点五、直线与平面垂直的性质1.基本性质　　一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.　　符号语言：7 　　图形语言：　　　　　　　　　2.性质定理　　垂直于同一个平面的两条直线平行.　　符号语言：　　图形语言：　　　　　知识点六、平面与平面垂直的性质　　性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.　　符号语言：　　图形语言：　　　　　　　　【例题解析】2．如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.　　(1)求证：SD⊥平面ABC；　　(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.　　7 　3．如图所示，已知∠BOC在平面内，OA是平面的斜线，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=，BC=，求OA和平面所成的角.　　　　　　　　　　　　　　　　　4．如图所示，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，，求以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角大小.　　　　　　　　　　　　　　　　　　5．在四面体ABCD中，，AB=AD=CB=CD=AC=，如图所示.　　　　　　求证：平面ABD⊥平面BCD.　　　　　　　　　　　　　　　　　7 6．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．　　　　　　　　　　　　(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　基础达标　　1.平面外的一条直线与内的两条平行直线垂直，那么().　　A.　　　B.　　　C.与相交　　　D.与的位置关系不确定　　2.已知直线a、b和平面，下列推论错误的是().　　A.　　　　　　　B.　　C.　　　　D.　　3.若直线a⊥直线b，且a⊥平面，则有().　　A.　　　B.　　　C.　　　D.或　　4.若P是平面外一点，则下列命题正确的是().　　A.过P只能作一条直线与平面相交　　B.过P可作无数条直线与平面垂直　　C.过P只能作一条直线与平面平行　　D.过P可作无数条直线与平面平行　　5.设是直二面角，直线，直线，且a不垂直于，b不垂直于，那么().　　A.a与b可能垂直，但不能平行　　B.a与b可能垂直，也可能平行　　C.a与b不可能垂直，但可能平行　　D.a与b不可能平行，也不能垂直　　6.设、为两个不同的平面，、m为两条不同的直线，且，7 有如下两个命题：①若　　　，则；②若，则届那么().　　A.①是真命题，②是假命题　　B.①是假命题，②是真命题　　C.①②都是真命题　　D.①②都是假命题　　7.关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：　　①若且，则m∥n；②若且，则；　　③若且，则；④若且，则m∥n.　　其中真命题的序号是().　　A.①②　　　B.③④　　　C.①④　　　D.②③　　8.已知直线m⊥平面，直线，给出下列四个命题，其中正确的命题是().　　①若，则；②若，则m∥n；③若m∥n，则；④若，则.　　A.③④　　　B.①③　　　C.②④　　　D.①②　　9.下面四个命题：　　①两两相交的三条直线只可能确定一个平面；　　②经过平面外一点，有且仅有一个平面垂直这个平面；　　③平面内不共线的三点到平面的距离相等，则；　　④两个平面垂直，过其中一个平面内一点作它们交线的垂线，则此垂线垂直于另一个平面其中真命题　　的个数是().　　A.0个　　　B.1个　　　C.2个　　　D.3个　　10.设有不同的直线a、b和不同的平面、、，给出下列三个命题：　　①若，，则；②若，，则；③若，则.　　其中正确的个数是()　　A.0　　　B.1　　　C.27 　　　D.3　　11.已知直线⊥平面，直线平面，有四个命题：①；②；　　③；④.　　其中正确的命题是__________.(把所有正确命题的序号都填上)　　12.长方体中，MN在平面内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系是_______.　　13.如图所示，直角△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.　　(1)求证：SD⊥平面ABC；　　(2)若AB=BC.求证：BD⊥面SAC.　　　　　　　　　　　　　　　7