高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2平面与平面垂直的判定 课件

2.3.2平面与平面垂直的判定 教学重点、难点。重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。 问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？ 拦洪坝水平面这样的角有何特点，该如何表示呢？ 1.二面角及二面角的平面角平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。半平面——αlαl 思考:将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角，将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形称为二面角，你能画一个二面角的直观图吗？ 思考:在平面几何中，我们把角定义为“从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角”，按照这种定义方式，二面角的定义如何？ 1.二面角及二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角——l OBA这条直线叫做二面角的棱。平面角由射线--点--射线构成二面角由半平面--线--半平面构成lABPQ从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的表示这两个半平面叫做二面角的面。 两个半平面直线AB 二面角的画法AB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCD5平卧式直立式 思考:把门打开，门和墙构成二面角；把书打开，相邻两页书也构成二面角.随着打开的程度不同，可得到不同的二面角，这些二面角的区别在哪里？打开的书 思考:异面直线所成的角、直线和平面所成的角有什么共同的特征？它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。 思考:在二面角α-l-β的棱上取一点O，过点O分别在二面角的两个面内任作两条射线OA，OB，能否用∠AOB来刻画二面角的张开程度？lαβOAB 思考:在上图中如何调整OA、OB的位置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一确定？这个角的大小是否与顶点O在棱上的位置有关？lαβOABlαβOAB 思考:上面所作的角叫做二面角的平面角，你能给二面角的平面角下个定义吗？lαβOAB 二面角的大小用它的平面角来度量二面角的度量∠AOB∠A1O1B1以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。lABOO1A1B1？ 注：二面角的平面角的特点：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内10lOABAOB(1)(2) 思考:如图，平面γ垂直于二面角的棱l，分别与面α、β相交于OA、OB，则∠AOB是二面角的平面角吗？为什么？βlAOBγα 注意：平面角是直角的二面角叫做直二面角二面角的大小的范围: 小结:二面角的平面角的作法1、定义法根据定义作出来2、垂面法作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到l 寻找平面角D端点中点 寻找平面角中点EGF 线面、面面垂直的综合问题 [例3]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(3)二面角P－BC－D是45°的二面角． 观察:教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角及其度数.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。两个平面互相垂直通常画成：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。平面α与β垂直，记作：α⊥β。 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.面面垂直的定义：(2)日常生活中平面与平面垂直的例子?(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直呢?αβaAb 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？ 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.猜想：下面我们来验证这个定理 证明：设α∩β=CD，则B∈CD，在平面β内过B点作BE⊥CD。∵AB⊥CD，AB⊥BE。∴∠ABE=90。是二面角α—CD—β的平面角，∴二面角α—CD—β是直二面角，即α⊥β。αβABCDE已知：直线AB⊥平面β于B点，AB平面α，求证:α⊥β 垂线 [化解疑难]对面面垂直的判定定理的理解(1)该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”．(2)定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．(3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握． 平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号:αβaA简记：线面垂直，则面面垂直面面垂直线面垂直线线垂直符号: 线面垂直判定定理：mαnαm∩n=Bl⊥ml⊥nl⊥αAmnB 性质定理现在你知道用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直的道理了吗？ 思考:过一点P可以作多少个平面与平面α垂直？过一条直线l可以作多少个平面与平面α垂直？αPlαl 例1、如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.证明:设已知⊙O平面为α 请问哪些平面互相垂直的,为什么?探究1：ABCD 例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。证明：应用ABDPCO 二、二面角的平面角一、二面角的定义从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角1、定义2、求二面角的平面角方法①点P在棱上②点P在二面角内ABPγβαιαβιABαβιppαβιABO—定义法—垂面法小结 找二面角的平面角说明该平面角是直角。（一般通过计算完成证明。）1、定义法：2、判定定理：要证两个平面垂直，另一个平面的一条垂线。只要在其中一个平面内找到（线面垂直面面垂直）3.两个平面垂直的判定定理的内容.面面垂直线面垂直线线垂直小结