2．3.2平面与平面垂直的判定
要点一定义法判定平面与平面垂直利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：(1)找出两个相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个平面互相垂直．
【证明】∵AB＝AD＝CB＝CD＝a，∴△ABD与△BCD是等腰三角形，∴取BD的中点E，连结AE、CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角．
AC＝a，∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，即二面角A－BD－C的平面角为90°.∴平面ABD⊥平面BCD.
【规律方法】利用定义证两平面垂直的基本思路是作出二面角的平面角，计算二面角的平面角为90°.此法较适合由等腰或等边三角形构成的几何体．
变式1如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA，SB，SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.
证明：取BC的中点D，由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，可得AB＝AC＝SA；连接SD，AD，则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS是二面角A－BC－S的平面角，
要点二面面垂直的判定定理的应用利用面面垂直的判定定理．具体作法是在其中一个平面内寻找与另一个平面垂直的直线．
例2如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.
【分析】由题目可获取以下主要信息：①EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC；②△ABC是等边三角形，CE＝CA＝2BD，ME＝MA.解答本题(1)，只要证明三角形全等，(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，证明平面ECA的垂线在BDM内，(3)与(2)类似．
【证明】(1)如图所示，取EC的中点F，连接DF.
【规律方法】证明平面与平面垂直的方法有两个：(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角；(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．
变式2(2010年高考课标全国卷)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．
解：(1)证明：因为PH是四棱锥P－ABCD的高，所以AC⊥PH.又AC⊥BD，PH、BD都在平面PBD内，且PH∩BD＝H，所以AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC，故平面PAC⊥平面PBD.
要点三简单的二面角的求法求二面角的大小关键是作出二面角，作二面角的平面角的方法．法一：(定义法)在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．
如图①，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．
法二：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．法三：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图③，∠ABO为二面角α－l－β的平面角．
(2)证明：由(1)知，PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB.同时，AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.
(3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．在直角△PCD中，PD＝CD＝a，∴∠PCD＝45°.∴二面角P－BC－D的平面角为45°.
【规律方法】立体几何的计算并非单纯的数字计算，而是与作图和证明相结合的．立体几何计算题的主要步骤可以归纳为画—证—算三步．“画”是画图，添加必要的辅助线，或画出所要求的几何量，或进行必要的转化；“证”是证明，用三段论的方法证明你所画的几何量即为所求，然后进行最后一步计算．
解：(1)证明：∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥AC，SA⊥AB.又AB∩AC＝A，∴SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.又SA∩AC＝A，∴BC⊥平面SAC，∴SC⊥BC.
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