高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2平面与平面垂直的判定 课件
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资料简介
新课标人教版课件系列《高中数学》必修2 形成天才的决定因素是勤奋2.3.2《平面与平面 垂直的判定》主备人:魏诗柏张正勇审核人:牟必继 1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法,会求简单的二面角的平面角:3.掌握两个平面互相垂直的概念,能用定义和定理判定面面垂直。教学目标 创设情景,揭示课题问题1:平面几何中“角”是怎样定义的?问题2:在立体几何中,“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的?它们有什么共同的特征?问题:在生产实践中,有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形,你能举出这个问题的一些例子吗?这样的角有何特点,该如何表示呢? 研探新知1、二面角的有关概念及其记法与表示观察思考:展示一张纸面,并对折让学生观察其形状,然后引导学生将它与角进行类比,归纳出二面角的概念及记法与表示.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。 棱为AB,面分别为α,β的二面角记作二面角α-AB-β。有时为了方便,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q。如果棱记作l,那么这个二面角记作二面角α―l―β或P―l―Q。1、二面角的有关概念及其记法与表示研探新知 2、二面角的度量提出问题:二面角的大小反映了两个平面相交的位置关系,如我们常说“把门开大一些”,是指二面角大一些,那我们应如何度量二面角的大小呢?师生活动:在预先准备好的二面角的模型的棱上取一点为顶点,在两个半平面内各作一射线,通过实验操作,研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。在二面角α―l―β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。 (1)在表示二面角的平面角时,要求“OA⊥L”,“OB⊥L”;(2)∠AOB的大小与点O在L上位置无关;(3)二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度,平面角是直角时叫直二面角。(4)二面角的平面角的范围是:注意: 附:角与二面角之间的关系角图形构成表示法•O顶点边边AB二面角从平面内一点出发的两条射线所组成的图形.从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形.定义射线点射线半平面棱半平面AOB二面角a或ABa棱面面AB 如图,过二面角α-l-β一个面内一点A,作另一个面的垂线,垂足为B,过点B作棱的垂线,垂足为O,连结AO,则∠AOB是二面角的平面角吗?为什么?ABOlαβ 如图,平面γ垂直于二面角的棱l,分别与面α、β相交于OA、OB,则∠AOB是二面角的平面角吗?为什么?αβlAOBγαβ 理论迁移例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B1-AC-B大小的正切值.AA1BCDB1C1D1O 例2如图所示,河堤斜面与水平面所成二面角为,堤面上有一条直道CD,它与堤角的水平线AB的夹角为,沿这条直道从堤脚C向上行走10m到达E处,此时人升高了多少m?ABCDEOF 3、两个平面互相垂直观察:教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角及其度数.定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。两个平面互相垂直通过画成:直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。平面α与β垂直,记作:α⊥β。两个平面互相垂直的画法及其表示: 4、两个平面垂直的判定判定两个平面互相垂直,除了定义外,还有下面的判定定理.两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.αβlO注:这个定理简称“线面垂直,则面面垂直”下面我们来证明这个定理 求证:α⊥β.分析:要证明两个平面互相垂直,只有根据两个平面互相垂直的定义,证明由它们组成的二面角是直二面角,因此必须作出它的一个平面角,并证明这个平面角是直角.如何作平面角呢?根据平面角的定义,可以作BE⊥CD,使∠ABE为二面角α-CD-β的平面角. 求证:α⊥β.证明:设a∩β=CD,则B∈CD.∴AB⊥CD.在平面β内过点B作直线BE⊥CD,则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角,又AB⊥BE,即二面角α-CD-β是直二面角.∴α⊥β.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.αβCDABE 特别注意:两个平面垂直的判定定理,不仅是判定两个平面互相垂直的依据,而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.如:建筑工人在砌墙时,常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直,实际上,就是依据这个原理.另外,这个定理说明要证明面面垂直,实质上是转化为线面垂直来证明. 应用举例,强化所学例3:如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周一不同于A,B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBCABOCP证明:设⊙O所在平面为α,由已知条件,有PA⊥α,BC在α内,所以,PA⊥BC,因为,点C是不同于A,B的任意一点,AB为⊙O的直径,所以,∠BCA=90°,即BC⊥CA又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线,所以,BC⊥平面PAC,又因为BC在平面PBC内,所以,平面PAC⊥平面PBC。探究:你还能发现哪些面互相垂直? 课堂诊断:1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线,则α⊥β.()2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线,则α⊥β.()3.如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β.()4.若m⊥α,m∥β,则α⊥β.()××√√5.二面角指的是( )A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。C、两个平面相交时,两个平面所夹的锐角。D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。B 如图所示,已知三棱锥P-ABC,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D为AB的中点,且△PDB是正三角形,PA⊥PC.(1)求证:平面PAC⊥平面ABC;(2)求二面角D-AP-C的正弦值;(3)若M为PB的中点,求三棱锥M-BCD的体积.名师解题线面垂直的综合应用例4 运用反馈,深化巩固1.指导完成课本P.69的探究问题2.指导完成课本P.69的练习小结归纳,整体认识1.比较角与二面角之间的关系2.二面角的度量;3.两个平面垂直的判定定理的内容,它与直线与平面垂直的判定定理有何关系?课后巩固,拓展思维课后作业:P.73习题2.3A组1,2,3,4.想一想:怎样求二面角?

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