高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2平面与平面垂直的判定 同步练习

一、选择题1．给出下列条件（其中为直线，为平面）：①垂直于内的一五边形的两条边；②垂直于内三条不都平行的直线；③垂直于内无数条直线；④垂直于内正六边形的三条边．其中能推出的是A．②B．①③C．②④D．③【答案】C2．关于直线以及平面，下列命题中正确的是A．若，，则B．若，，则C．若，且，则D．若，，则【答案】D【解析】由面面垂直的判定定理可知选项D是正确的，运用线面的位置关系的判定定理可知其他结论都是错误的．故应选D．3．如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBC C．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD【答案】C【解析】由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正确．故选C．4．已知α，β是平面，m、n是直线，给出下列表述：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中表述正确的个数是A．1B．2C．3D．4【答案】B5．正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是A．平面B．平面平面C．平面D．平面平面【答案】B【解析】因为分别是的中点，所以DF//BC，所以平面，则A正确；因为PB=PC=AB=AC，E是BC的中点，所以，所以平面PAE，所以平面，平面平面，则C，D正确，故选B．6．空间四边形的四条边相等，那么它的对角线A．相交且垂直B．不相交也不垂直C．相交不垂直D．不相交但垂直【答案】D【解析】如图，空间四边形ABCD，E为对角线BD的中点，因为四条边相等，所以，又，则BD⊥平面AEC，又平面，则BD⊥AC． 7．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，若PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A8．如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角【答案】D【解析】易知FG∥平面PBC，GE∥平面PBC，且FG∩GE＝G，故平面EFG∥平面PBC，A正确；由题意知PC⊥平面ABC，FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，故平面EFG⊥平面ABC，B正确； 根据异面直线所成角的定义可知，C正确；而D中，FE不垂直于AB，故∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，故选D．二、填空题9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．【答案】45°【解析】如图所示，因为正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°．10．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，能保证直线与平面垂直的是__________（填序号）．【答案】①③11．在四棱锥P—ABCD的侧面，，，中，直角三角形最多有_________个．【答案】4【解析】如图，四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，在四个侧面中，有，故有4个．12．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当DM⊥________时，平面MBD⊥平面PCD． 【答案】PC【解析】由相关定理可知，BD⊥PC．当DM⊥PC时，则有PC⊥平面MBD．而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD．所以应填PC．三、解答题13．如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求四棱锥P－ABCD的体积．（2）四棱锥P－ABCD的底面积为1，因为PA⊥平面ABCD，所以四棱锥P－ABCD的高为PA＝1，所以四棱锥P－ABCD的体积为．14．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a， （1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；（3）求证：二面角P—BC—D的平面角为45°．（3）由（1）知PD⊥BC，又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC．∴∠PCD为二面角的平面角．在中，PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°．∴二面角的平面角为45°．15．如图，已知平面，，是正三角形，，且是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面． 【解析】（1）如图，取的中点，连接，∵为的中点，∴，且．又，且，∴，且．∴四边形是平行四边形，∴．又∵平面，平面，∴平面．16．如图，在长方体中，=1，，点E是线段AB的中点．（1）求证：；（2）求二面角的正切值．【解析】（1）∵平面，平面，所以． 在中，，同理，得，又，则即，又，故平面．又平面，故．17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点是的中点，作，交于点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求证：平面．【解析】（1）连接，与相交于，连接，则为的中位线，，又平面平面，由线面平行的判定定理知平面．（2）∵，且底面，∴为等腰直角三角形，是的中点，，又底面为正方形，，由，得平面，而平面， 又平面，又平面，故平面平面．（3）由（2）知，平面平面，又，平面．