两个平面垂直的判定和性质（三） ●教学目标 (一)教学知识点 1．两个平面互相垂直的判定． 2．两个平面互相垂直的性质． (二)能力训练要求 1．通过本节教学，提高学生空间想象能力． 2．通过问题解决，提高等价转化思想渗透的意识． 3．进一步提高学生分析问题、解决问题的能力． (三)德育渗透目标 多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神． ●教学重点 两个平面垂直的判定、性质． ●教学难点 两个平面垂直的判定定理、性质定理运用． 正确作出符合题意的空间图形． ●教学方法 从条件去分析其应具有的结论，从结论去探讨其应具备的条件，诱导学生思考、分析问题． ●教具准备 投影片两张 第一张：(记作§9．6．3A) 第二张：(记作§9．6．3B)
●教学过程 Ⅰ．复习回顾 1．二面角、二面角的平面角． 2．求作二面角的平面角的途径及依据． Ⅱ．讲授新课 2．两个平面垂直的判定 ［师］两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形． 教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的． 两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似，也是用它们所成的角为直角来定义的，上一节的学习告诉我们二面角的取值范围是(0，p］，即二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角． 请同学给两个平面互相垂直下一定义： ［生］两个平面互相垂直的定义可表述为： 如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直． ［师］那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图． 师生共同动手，图的画是否直观，直接影响问题解决． 平面a和b垂直，记作a⊥b． ［师］还以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面．即a⊥b，请同学给出面面垂直的判定定理． ［生］两个平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． ［师］请两位同学给出分析，证明． ［生］已知：AB⊥b，AB∩b＝B，ABa． 求证：a⊥b． 分析：要证a⊥b 需证a和b构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角． 证明：设a∩b＝CD，则由ABa知，AB、CD共面． ∵ AB⊥b，CDb，
∴ AB⊥CD，垂足为点B． 在平面b内过点B作直线BE⊥CD． 则∠ABE是二面角a-CD-b的平面角． 又AB⊥BE，即二面角a-CD-b是直二面角． ∴ a⊥b． ［师］建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？ ［生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线． ［师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为： 线面垂直面面垂直 3．两个平面垂直的性质 ［师］在所给正方体中，下式是否正确： ①平面ADD1A1⊥平面ABCD； ②D1A⊥AB； ③D1A⊥面ABCD． ［生］①∵ AB⊥面ADD1A1，AB面ABCD． ∴ 平面ABCD⊥平面ADD1A1． ②∵ AB⊥面ADD1A1，D1A面ADD1A1 ∴ AB⊥D1A ③∵ AA1⊥面ABCD， ∴ AD1与平面ABCD不垂直． ［师］平面ADD1A1⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD， A是平面ADD1A1内一点． 过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？ 判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直． 两个平面垂直的性质定理： 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面． ［师］从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直．也给了我们以后证明问题的一种思想方法． 请同学予以证明． ［生］证明过程如下： 已知：a⊥b、a∩b＝a，ABa，AB⊥a于B．
求证：AB⊥b． 证明：在平面b内作BE⊥a垂足为B， 则∠ABE就是二面角a-a-b的平面角． 由a⊥b可知，AB⊥BE． 又AB⊥a，BE与a是b内两条相交直线， ∴ AB⊥b． ［师］证明的难点在于“作BE⊥a”．为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角来决定的，构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力．例2也可做为性质定理用． ［例2］求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内． 已知：a⊥b，P∈a，P∈a，a⊥b． 求证：aa．(§9．6．3A) ［师］请同学分析题的条件及结果，结合投影思考证明思路，为了证aa先作出直线ba然后证a与b是同一条线，生先证，尔后教师给予评注． ［生］证明：设a∩b＝c，过点P在平面a内作直线b⊥c， ∵ a⊥b， ∴ b⊥b，而a⊥b，P∈a． 因为经过一点只能有一条直线与平面b垂直． 所以直线a应与直线b重合． 那么aa． ［师］利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点：一是作出符合题意的直线b，不易想到；二是证明直线b和直线a重合，相对容易些．点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上．其结论可作性质定理用． 下面请同学阅读例题3结合投影，试从不同角度证明． ［例3］如图，AB是⊙O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线DE与平面VBC有什么关系？试说明理由．(§9．6．3B)
［生］可从多角度解决该题． 解法一：∵ VC⊥面ABC，AC面ABC，BC面ABC， ∴ VC⊥AC，VC⊥BC． 则∠ACB就是面VBC-VC-面VAC的平面角． 因AB是⊙O的直径，故∠ACB＝90°． ∴ 面VBC⊥面VAC． 又D、E分别是VA、VC的中点， 则DE∥AC． 而AC⊥VC即DE⊥VC． 那么DE⊥面VBC． ［运用面面垂直的判定及面面垂直的性质转化关系：二面角是直二面角面面垂直线面垂直．］ 解法二：因VC⊥面ABC，AC面ABC， ∴ VC⊥AC． 又AB是⊙O的直径，即有AC⊥BC． 由此AC⊥面VBC． 而D、E是VA、VC中点，DE∥AC， 故DE⊥面VBC． ［此法比解法一简单明了，走的弯路较少． 转化关系：线垂直面线垂直面内线 线垂直面与此线平行的线也垂直平面．］ 解法三：可找VB中点F，证∠DEF＝90°，进而证明ED⊥面VBC． (由AC⊥VC，BC⊥VC说明之) Ⅲ．课堂练习 课本P38 练习1，2，3． 1．画互相垂直的两个平面，两两垂直的三个平面． ［画图略．原则：直立平面的竖边画成和水平平面横边垂直．此题可改为：在一个正方体中找出互相垂直的平面．两两垂直的三个平面，观察表示平面的边与边间关系．］ 2．检查工件相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，这是为什么？ ［此题说明数学源于实际生活，反过来为实际生活服务．解答该题所用的知识就是面面垂直的判定定理，满足一面经过另一面的一条垂线． 如果尺边和这个面密合，则说明另一尺边垂直于这个面，那么工件的相邻两面互相垂直．］
3．如图a⊥b，a∩b＝l，ABa，AB⊥l，BCb，DEb，BC⊥DE． 求证：AC⊥DE． ［要证线线垂直，依题创造条件运用三垂线定理．需证线面垂直时想到面面垂直性质定理．］ Ⅳ．课时小结 (1)证明两个平面垂直，关键在于找线，找到的直线在一个平面内而与另一个平面垂直． (2)证明直线和平面垂直，若能说明该线在两个垂直平面其中一个内而与交线垂直，则这条直线和另一平面垂直． (3)判定定理、性质定理有时要和其他定理结合起来用．(例3．练习3) Ⅴ．课后作业 (一)P40 12，13，14(必做) P39 8，9，10，11(任选两题) 必做题目 12．下列命题是否正确？如果正确，请作出证明；如果不正确，请举出反例(画出草图)． (1)a⊥g，b⊥ga∥b (2)a⊥b，b⊥ga⊥g (3)a∥a1，b∥b1，a⊥ba1⊥b1 解：(1)不正确 垂直于同一平面的两面还可能是相交平面． (2)不正确 垂直于同一平面的两面还可能是平行平面． （1） （2） (3)正确
［垂直于同一平面的两面可以平行，也可以相交．］ 13．如图a⊥b，a∩b＝l，A∈a，B∈b，AB＝a，AB与a、b所成的角分别是q1和q2，求点A、B在l上的射影A′、B′间的距离． 解：∵ A′、B′分别是A、B在棱l上的射影， 则AA′⊥l，BB′⊥l． 而a⊥b， 故AA′⊥b，BB′⊥a， 则∠ABA′＝q2，∠BAB′＝q1． 因AB′＝acosq1，AA′＝asinq2， 故A′B′＝＝a ［解Rt△AA′B′即可求解利用 A′B′＝ 若a与b不垂直，那么需经B及A′分别作A′B′及B′B的平行线交于点F，连AF，那么A′B′＝BF＝． 而AF的求解要求用到二面角的平面角．］ 14．如图，在立体图形V-ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，平面VAB和平面VBC有何种位置关系？请说明理由． 解：平面VAB和平面VBC垂直． 由∠VAB＝∠VAC＝90°知 VA⊥AB，VA⊥AC， 即VA⊥面ABC，BC面ABC． ∴ VA⊥BC． 又∵ ∠ABC＝90°，BC⊥AB， 那么BC⊥面VAB，又BC面VBC， 故面VAB⊥面VBC． 选做题 8．求证：
(1)如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直； (2)如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直． 证明：(1)在平面a内任取一点P． ∵ l∥a，∴ Pl． P、l可确定一平面g． 设a∩g＝l′则l∥l′． a⊥b ［该题目难在构造既符合题，又能使问题得证的立体图形．］ (2)设a⊥b，b∥g． 过b内一点P作直线l，使l⊥a则lb． l与g内任一点Q确定平面d，设d∩g＝l′，则l∥l′． l′⊥a，因此g⊥a． ［题目较抽象，构造图形，创造条件，使问题转化为可利用已有定理来解决．］ 9．已知a⊥g，b⊥g，a∩b＝l，求证：l⊥g． 用文字表述就是： 如果两相交面同时垂直于第三面，则交线也垂直于该面． 证明：过l上任一点P作直线l′，使l′⊥g， 由P∈a，a⊥g知l′a同理可证l′b． 因此，l′＝a∩b＝l，l⊥g． ［问题的证明，实质上采取的是同一法，作出直线l′，使之符合条件，使l与l′重合．］ 10．求证：(1)如果三条共点直线两两互相垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两互相垂直； (2)三个两两垂直的平面的交线两两垂直． 证明：(1)a、b可确定平面a，
a、c可确定平面b． 因c⊥a，c⊥b，a、b是a内两相交线， ∴ c⊥a而cb故有 a⊥b 同理可证a⊥g，b⊥g． ［题目难在：创造性地利用有关定理解决问题，这要求心中有定理、围绕定理想思路．］ (2)［第9题告诉我们垂直于同一面的两相交面，交线也垂直于该面．］ 11．求证：如果平面a和不在这个平面内的直线l都垂直于平面b，那么l∥a． 证明：∵ a⊥b，a内有b的垂线l′， 而l、l′都垂直于b知l∥l′． 又l在平面a外， 因此l∥a． ［巧妙地利用线线平行线面平行，而找到l′使之在a内而与b垂直是关键，注意总结规律．］ (二)预习内容及提纲 1．如何解决寻找二面角的平面角问题？ 2．无棱二面角问题怎样求解？ ●板书设计§9．6．3 两个平面垂直的判定和性质(三) 2．两个平面垂直的判定 判定定理 3．两个平面垂直的性质 性质定理，例2 例3 练习 小结 作业 ●备课资料 一、异面直线上两点间距离 已知两条异面直线a、b所成角为q，其公垂线段AA1＝d，在a、b上分别取点E、F，设A1E＝m，AF＝n，则EF＝_________． 解析：设经b而与a平行的平面为a，线AA1及线a确定的平面为b， a∩b＝c． ∵ a∥a，∴ a∥c．
那么b、c所成角就是异面直线a、b成角． ∵ AA1⊥b，AA1⊥c，则AA1⊥a， 故a⊥b． 经E作EG⊥c于G，则EG⊥a． 连GF，EG⊥GF，EG＝AA1＝d， 那么在△GAF中，FG2＝m2＋n2-2mncosq． 在△EGF中，EF2＝EG2＋FG2＝d2＋FG2． 故EF2＝d2＋m2＋n2-2mncosq． 当F在另一侧(AA1另一侧)， EF2＝d2＋m2＋n2-2mncos(180°-q) ＝d2＋m2＋n2＋2mncosq 故EF＝． 答案： 评述：在该题解决过程中，从平面的性质到面面垂直、线面垂直，涉及多个知识点，求解过程体现等价转化思想，将空间两异面直线上任意两点距离问题，通过平面a、平面b转化为平面问题． 公式说明两异面直线公垂线的存在性，且公垂线段长是异面直线上任两点连线最短的． 公式应用 1．求异面直线上任意两点距离 2．求二面角的平面角 ［例1］二面角a-l-b为60°，A∈a，B∈b，AC⊥l于C，BD⊥l于D，AC＝5cm，BD＝7cm，CD＝，求AB． 解：将AC、BD看成两异面直线． 经D作DE∥AC， 则DE⊥CD，又BD⊥CD，则∠EDB就是a-l-b的平面角∠BDE＝60°． 而∠BDE也是AC、BD成角． 又CD是AC、BD的公垂线， 那么EF＝＝7(cm)． 评述：在二面角内构造图形，找角的大小，确定公垂线是关键，这是利用公式求距离的问题．
［例2］在空间四边形ABCD中，DB＝DC＝1，BC＝，CA＝AB＝2，AD＝，求二面角A-BD-C的大小． 解：因DB＝DC＝1，BC＝， ∴ DC2＋DB2＝BC2 即△DBC是直角三角形． BD⊥CD． 又BA2＋BD2＝4＋1＝AD2， 即△ABD是直角三角形，AB⊥BD． 那么AB与DC两线所成角的大小等于所求二面角的大小，设角为q ， 则有cosq＝＝ ∴ q＝60°． 评述：该题说明一个二面角的大小可以用异面直线所成角来度量，但要注意此时存在角的范围变化，二面角可以是钝角，但异面直线决不能是钝角，运用公式时注意这一点不同． 二、参考例题 ［例题］(2003年高考文科第15题)在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直”，则______． 解：此题是突破以往高考命题模式的又一典范，丰富的想象和联想是增强创新意识的利器，本题如果能联想构造一长方体，用一平面去截长方体易得满足条件的棱锥A-BCD，进而易证结论：“S△ABC2＋S△ACD2＋S△ADB2＝S△BCD2．”
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