高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判定 练习

人民教育出版社高中必修2畅言教育《2.3.2平面与平面垂直的判定》培优练习本课时编写：成都市第二十中学付江平1.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：BD⊥平面PAC.2.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．3.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.用心用情服务教育5 人民教育出版社高中必修2畅言教育(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．4．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．5．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．(1)求证：BC⊥平面PAC．(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．参考答案用心用情服务教育5 人民教育出版社高中必修2畅言教育1.证明：∵PA⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，∴PA⊥BD.在Rt△ABD中，∵AD＝2，AB＝2，∴tan∠ABD＝＝，∴∠ABD＝30°.在Rt△ABC中，∵AB＝2，BC＝6，∴tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60°.在△ABE中，∵∠BAE＝60°，∠ABE＝30°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.2.(1)证明：设E为BC的中点，连接A1E，AE.由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F，所以A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝.由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝.由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝，∠DA1E＝90°，得A1F＝.用心用情服务教育5 人民教育出版社高中必修2畅言教育所以sin∠A1BF＝.3.证明：(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝.又A1C＝，则A1C2＝OC2＋OA12，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V＝S△ABC×OA1＝3.4．证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．因为EF⊄平面ABC．BC⊂平面ABC．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．5．(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE．∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．用心用情服务教育5 人民教育出版社高中必修2畅言教育这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．用心用情服务教育5