2.3.2平面与平面垂直的判定学案一．学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面垂直的判定，掌握二面角和两个平面垂直的定义，理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系，会用所学知识求两平面所成的二面角的平面角的大小.二．重点、难点： 重点： 难点：三．知识要点：1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedralangle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角.（简记）2.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.范围：.3.定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作.4.判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.（线面垂直面面垂直）四．自主探究：（一）例题精讲：【例1】已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.（1）求证：AP⊥EF；（2）求证：平面APE⊥平面APF.证明：（1）如右图，∵∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P，∴PA⊥平面PEF.∵EF平面PEF，∴PA⊥EF.（2）∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，∴PE⊥平面APF.又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF.【例2】如图,在空间四边形ABCD中，分别是的中点，求证：平面平面.证明：为AC中点，所以.同理可证∴面BGD.又易知EF//AC，则面BGD.又因为面BEF，所以平面平面.【例3】如图，在正方体中，E是的中点，求证：．证明：连接AC，交BD于F，连接，EF，，.由正方体，易得，，F是BD的中点，所以，得到是二面角的平面角.设正方体的棱长为2，则，，.∴，即，所以.点评：要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角，这也是证两平面垂直的常用方法.此题由几何图形的特征，作出待证的两个垂直平面所成二面角的平面角是解决问题的关键.【例4】正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱BB1、CC1上的点，且
EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.解：（1）延长ED交CB延长线于F，，∴，.∵，∴为截面与底面所成二面角的平面角.在Rt△AEC中，EC=AC，故得∠EAC=45°.（2）设AB=a，则，.∴.点评：截面问题的研究，需注意结合截面的性质.如何作出截面，是解决问题的关键，然后把截面的看成一个平面图形.求二面角时，抓住二面角的平面角定义（两线垂棱），找出其平面角，解直角三角形.第17练§2.3.2平面与平面垂直的判定五．目标检测：（一）基础达标1．对于直线、和平面、，的一个条件是（）.A．，，B.C．D.，，2．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP=AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是（）.A．30°B．45°C．60°D．90°3．在三棱锥A—BCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么（）.A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面BCD⊥平面ADCD.平面ABC⊥平面BCD4．在直二面角棱AB上取一点P，过P分别在平面内作与棱成45°角的斜线PC、PD，则∠CPD的大小是（）.A．45°B．60°C．120°D．60°或120°5．下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是（）.A.1B.2C.3D.46．E是正方形ABCD的AB边中点，将△ADE与△BCE沿DE、CE向上折起，使得A、B重合为点P，那么二面角D—PE—C的大小为.7．空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E是AC的中点，则平面BDE与平面ABC的位置关系是.（二）能力提高8．如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于、.将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M.试求二面角的大小.
9．如图，棱长为的正方体中，分别为棱和的中点，为棱的中点.求证：（1）平面；（2）平面平面.（三）探究创新10．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点.（1）求证：CD⊥PD；（2）求证：EF∥平面PAD；（3）当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？
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