高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2平面与平面垂直的判定 学案
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资料简介
青海师范大学附属第二中学高中数学2.3.2平面与平面垂直的判定学案新人教A版必修2[学习要求]1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角;2.掌握二面角的平面角的一般作法,会求简单的二面角的平面角;3.掌握两个平面互相垂直的概念,能用定义和定理判定面面垂直.[学法指导]通过实例直观感知“两个平面互相垂直”、“二面角”概念的形成过程;类比已学知识,归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理,提高分析、解决问题的能力.1.二面角:从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做.叫做二面角的面.2.二面角的平面角如图:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的叫做二面角的平面角.3.平面与平面的垂直(1)定义:如果两个平面相交且它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.(2)面面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的,则这两个平面垂直.即a⊥β,a⊂α⇒.[问题情境]在学习了异面直线所成的角、直线和平面所成的角后我们自然而然就提出:两个平面所成的角该怎么定义?如何衡量它的大小?为此,我们需要引入二面角的概念,研究两个平面所成的角.探究点一 二面角的概念问题1 平面几何中“角”是怎样定义的?问题2 在立体几何中,“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的?它们有什么共同的特征?问题3 在生产实践中,有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形,你能举出这个问题的一些例子吗?问题4 如何用字母来记作二面角?问题5 二面角的大小反映了两个平面相交的位置关系,二面角的平面角是如何定义的?那我们应如何度量二面角的大小呢?探究点二 两个平面垂直的概念问题1 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出是哪些二面角?这些二面角各是多少度? 问题2 如何定义两个平面互相垂直?问题3 如何画两个相互垂直的平面?平面α与平面β垂直,记作什么?探究点三 两个平面垂直的判定问题1 判定两个平面互相垂直,除了定义外,还有其它的判定定理吗?问题2 如何用符号语言表达面面垂直的判定定理?例1 如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.例2 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点.(1)求点C到平面A1ABB1的距离;(2)若AB1⊥A1C,求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值.[达标检测]1.直线l⊥平面α,l⊂平面β,则α与β的位置关系是(  )A.平行B.可能重合C.相交且垂直D.相交不垂直2.下列命题:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直,则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是(  )A.①③B.②④C.③④D.①②3.下列命题中正确的是(  )A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线,则α⊥βB.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线,则α⊥βC.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥βD.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β4.如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,你能发现哪些平面互相垂直,为什么?[小结]1.证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义;(2)利用面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 2.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的,因此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的的.2.3.2 平面与平面垂直的判定一、基础过关1.过两点与一个已知平面垂直的平面(  )A.有且只有一个B.有无数个C.一个或无数个D.可能不存在2.不能肯定两个平面一定垂直的情况是(  )A.两个平面相交,所成二面角是直二面角B.一个平面经过另一个平面的一条垂线C.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线D.平面α内的直线a与平面β内的直线b垂直3.设有直线m、n和平面α、β,则下列结论中正确的是(  )①若m∥n,n⊥β,m⊂α,则α⊥β;②若m⊥n,α∩β=m,n⊂α,则α⊥β;③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β.A.①②B.①③C.②③D.①②③4.设l是直线,α,β是两个不同的平面,下列结论中正确的是(  )A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l∥α,l⊥β,则α⊥βC.若α⊥β,l⊥α,则l⊥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β5.过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD,且AP=AB,则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________.6.如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,图中互相垂直的平面有________对.第6题图第7题图7.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA.求证:平面EFG⊥平面PDC.8.如图所示,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A—BE—P的大小.二、能力提升9.在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,把菱形沿对角线AC折起,使折起后BD= ,则二面角B-AC-D的余弦值为(  )A.B.C.D.10.在正四面体P-ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,下面四个结论中不成立的(  )A.BC∥面PDFB.DF⊥面PAEC.面PDF⊥面ABCD.面PAE⊥面ABC11.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E、F分别是A1B、A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.12.如图,在三棱锥P—ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC.(1)求证:BC⊥平面PAC.(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角?并说明理由.三、探究与拓展13.如图所示,三棱锥P—ABC中,D是AC的中点,PA=PB=PC=,AC=2,AB=,BC=.(1)求证:PD⊥平面ABC;(2)求二面角P—AB—C的正切值.跟踪训练1 如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E、F分别是AB、BD的中点.求证:(1)EF∥面ACD;(2)面EFC⊥面BCD.跟踪训练2 如图,平面角为锐角的二面角α—EF—β,A∈EF,AG⊂α,∠GAE=45°,若AG与β所成角为30°,求二面角α—EF—β的平面角.

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