高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2平面与平面垂直的判定 教学设计

高中数学学科高一学年教学设计授课教师张智学校哈73中学科数学教龄12年授课时间2015.6.29课题平面与平面垂直的判定定理和性质定理课型新课授课班级1.2教材与学情分析：两个平面垂直的判定定理及性质定理是平面与平面位置关系的重要内容．通过这节的学习可以发现：直线与直线垂直、直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定和性质定理形成了一套完整的证明体系，而且可以实现利用低维位置关系推导高维位置关系，利用高维位置关系也能推导低维位置关系，充分体现了转化思想在立体几何中的重要地位．教学目标知识与技能：掌握两平面垂直的有关概念，以及两个平面垂直的判定定理和性质定理，能运用概念和定理进行有关计算与证明．过程与方法：培养学生的空间想象能力，逻辑思维能力，知识迁移能力，运用数学知识和数学方法观察、研究现实现象的能力，整理知识、解决问题的能力．情感态度与价值观:通过对实际问题的分析和探究，激发学生的学习兴趣，培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神．教学重点：判定定理及性质定理教学难点：定理的发现及证明．教学策略与方法：学案导学式教学手段与教学用具：实物投影、ppt、模型。 教学过程教师活动及教学内容学生活动设计意图一、问题情境1.建筑工人在砌墙时，常用一根铅垂的线吊在墙角上，这是为什么？（为了使墙面与地面垂直）2.什么叫两个平面垂直？怎样判定两平面垂直，两平面垂直有哪些性质？二、建立模型如图19-1，两个平面α，β相交，交线为CD，在CD上任取一点B，过点B分别在α，β内作直线BA和BE，使BA⊥CD，BE⊥CD．于是，直线CD⊥平面ABE．容易看到，∠ABE为直角时，给我们两平面垂直的印象，于是有定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，并且这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α，β互相垂直，记作α⊥β．［问 题］1.建筑工人在砌墙时，铅垂线在墙面内，墙面与地面就垂直吗？如图19-1，只要α经过β的垂线BA，则BA⊥β，∴BA⊥BE，∠ABE＝Rt∠．依定义，知α⊥β．于是，有判定定理：定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．2.如果交换判定定理中的条件“BA⊥β”和结论“α⊥β”．即，也就是从平面与平面垂直出发，能否推出直线与平面垂直？分组讨论，总结每组抽到序号的同学回答问题学生根据预习回答问题学生抢答学生抢答学生根据预习回答问题体会数学的美检查预习情况培养空间想象力检查预习情况培养归纳整理能力检查预习情况 平面α内满足什么条件的直线才能垂直于平面β呢？让学生用教科书、桌面、笔摆模型．通过模型发现：当α⊥β时，只有在一个平面（如α）内，垂直于两平面交线的直线（如BA）才会垂直于另一个平面（如β）．于是，有定理：定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．（先分析命题的条件和结论，然后画出图形，再结合图形，写出已知，求证）已知：如图，α⊥β，α∩β＝CD，ABα，AB⊥CD，求证：AB⊥β．分析：要证AB⊥β，只需在β内再找一条直线与ＡＢ垂直，但β内没有这样的直线，如何作出这条直线呢？因为α⊥β，所以可根据二面角的定义作出这个二面角的平面角．在平面β内过点B作BE⊥CD．因为AB⊥CD，所以∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，并且∠ABE＝90°，即AB⊥BE．又因为CDβ，BEβ，所以AB⊥β．三、解释应用［例 题］1.已知：如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD长．学生抢答对比、观察学生总结学生上黑板画，教师点评。培养归纳整理能力学以致用检查预习情况培养归纳整理能力 解：连接BC．因为AC⊥AB，所以AC⊥β，AC⊥BD．因为BD⊥AB，所以BD⊥α，BD⊥BC．所以，△CBD是直角三角形．在Rt△BAC中，BC＝＝5（cm），在Rt△CBD中，CD＝＝13（cm）．2.已知：在Rt△ABC中，AB＝AC＝ａ，AD是斜边BC的高，以AD为折痕使∠BDC折成直角（如图19-4）．求证：（1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）∠BAC＝60°．证明：（1）如图19-4（2），因为AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC．因为平面ABD和平面ACD都过AD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）如图19-4（1），在Rt△BAC中，因为AB＝AC＝ａ，所以BC＝ａ，BD＝DC＝．学生上黑板书写过程，教师点评。学生回答培养分析问题能力学以致用培养解决问题能力 如图19-4（2），△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝BD＝2×＝ａ．得AB＝AC＝BC．所以∠BAC＝60°．［练 习］1.如图19-5，有一个正三棱锥体的零件，P是侧面ACD上一点．问：如何在面ACD上过点P画一条与棱AB垂直的线段？试说明理由．2.已知：如图19-6，在空间四边形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD，E是CD的中点．求证：（1）平面ABE⊥平面BCD．（2）平面ABE⊥平面ACD．四、拓展延伸能否将平面几何中的勾股定理推广到立体几何学中去？试写一篇研究性的小论文．五、课堂小结总结归纳你在本课的收获（知识、学习方法）六、高瞻远瞩对照高考考试说明。七、课后作业完成学案课后篇学生抢答学生上黑板书写过程，教师点评。学生总结学以致用学以致用。培养归纳整理能力 板书设计平面与平面垂直的判定和性质1.判定定理例12.性质定理例2