高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2平面与平面垂直的判定 教案

新希望学校培训资料平面与平面垂直的判定与性质教学重、难点：1.重点：平面与平面垂直的判定及应用。2.难点：二面角的度量及判定定理的应用。教学内容：要点一、二面角1．二面角定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedralangle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2二面角的求法与画法棱为AB、面分别为、的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P–AB–Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角或P–l–Q.3．计算二面角大小的方法   （1）作二面角的平面角，并将其放在一个三角形中，解三角形求出二面角的平面角大小，它就是二面角的大小。   作二面角的平面角常用下列三种方法：   ①用定义作二面角的平面角—在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，这两条射线组成二面角的平面角。利用定义作二面角的平面角，关键在于找棱及棱上的特殊点。学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用。       ②用三垂线定理作二面角的平面角—从二面角的一个面内选一个特殊点A，由A向另一个平面作垂线垂足为B，再由B向棱作垂线交棱于C，连结AC，则∠ACB就是二面角的平面角。利用三垂线定理（逆定理）作二面角的平面角是最常用的方法，它是通过二面角一个面上的点向另一个面（基面）作垂线（主垂线）的办法来实现的，因此选好基面，再作主垂线，主垂线是解题的关键。   ③用垂面法作二面角的平面角—作垂直于二面角的棱或二面角两个半平面的垂面，则该垂面与二面角两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角。   （2）面积法—如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ，则。3二面角的平面角如图（1）在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l心在那里新的希望就在那里 新希望学校培训资料的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.（2）二面角的平面角的大小与O点位置无关.（3）二面角的平面角的范围是[0，180°]（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.[例1]如图，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．       分析由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角．   解 ∵PC⊥平面ABC   ∴平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA－C的平面角．   设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，    [例1]如图过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB＝a求(1)二面角B－PC－D的大小；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．    分析二面角B－PC－D的棱为PC，所以找平面角作棱的垂线，而平面PAB和平面PCD所成二面角“无棱”须找二面角的棱．   解 (1)∵PA⊥平面ABCD，BD⊥AC   ∴BD⊥PC(三垂线定理)   在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连结DE，得PC⊥平面BED，从而DE⊥PC，即∠BED是二面角B－PC－D的平面角．   在Rt△PAB中，由PA＝AB=a    (2)过P作PQ∥AB，则PQ平面PAB，   ∵AB∥CD∴PQ∥CD，PQ平面PCD   ∴平面PAB∩平面PCD于PQ   ∵PA⊥AB，AB∥PQ∴PA⊥PQ   ∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD   ∴CD⊥PD(三垂线定理的逆定理)心在那里新的希望就在那里 新希望学校培训资料   ∵PQ∥CD∴PD⊥PQ   所以∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角．   ∵PA＝AB=AD，∴∠APD=45°   即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45°.   评注在求无棱二面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角要点二、平面与平面垂直的判定1．平面与平面垂直的定义，记法与画法.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面与垂直，记作⊥.2．两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.[例3]过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°。   求证：平面ABC⊥平面BSC。    证法一： 作AD⊥平面BSC，D为垂足。       ∵∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC，则AS=AB=AC，       ∴D为△BSC的外心。又∠BSC=90°，       ∴D为BC的中点，即AD在平面ABC内。       ∴平面ABC⊥平面BSC。   证法二：  取BC的中点D，连接AD、SD，易证AD⊥BC，又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角三角形，   ∴BD=SD∴AD2+SD2=AD2+BD2=AB2=AS2，由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD，   ∴AD⊥平面BSC。又AD平面ABC，  ∴平面ABC⊥平面BSC。   评注本题是证明面面垂直的典型例题，关键是将证明“面面垂直”问题转化为证明“线面垂直”。方法一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内；方法二则是在一个平面内找一条线段，证明它与另一个平面垂直。[例3]已知：如图，在矩形ABCD中，已知，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A´BE的位置，使A´C=A´D。   （1）求证：平面A´BE⊥平面BCDE；心在那里新的希望就在那里 新希望学校培训资料   （2）求A´C和平面BCD所成角的大小。                要点三.两个平面垂直的性质两个平面互相垂直时有下面两个性质：1如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。简述为：“若面面垂直，则线面垂直”。2那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。此性质可以作为面面垂直的性质定理直接应用例3如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：设⊙O所在平面为，由已知条件，心在那里新的希望就在那里 新希望学校培训资料PA⊥，BC在内，所以PA⊥BC.因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC.又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条直线.所以BC⊥平面PAC.又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC⊥平面PBC.1.正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABC1D1与正方体的其他各个面所成的二面角的大小分别为多少？（）2．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？答：面ABC⊥面BCD面ABD⊥面BCD面ACD⊥面A1．下列命题中正确的是。①如果直线与平面α内的无数条直线垂直，则⊥α；②如果直线不垂直于α，则α内没有与垂直的直线；③如果直线不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与垂直；④两直线a,b平行，由a⊥α可得出b⊥α。2．如右图，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，求证：。       ACBDA1C1B13.如右图所示，在三棱柱中，平面，心在那里新的希望就在那里 新希望学校培训资料，是的中点。求证：平面。4.已知正四面体ABCD中，各棱长均为2，E为AD的中点。（1）求AD与平面BCD所成的角的正弦值；（2）求EC与平面BCD所成的角的正弦值大小。（提示：作BC中点F，找到底面的重心O）心在那里新的希望就在那里 新希望学校培训资料5．如右图，正方形所在平面且，分别是的中点。（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小。（3）求证：；（4）求证：平面。心在那里新的希望就在那里