《平面与平面垂直的判定》◆教材分析在空间平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范。空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点。使学生掌握两个平面互相垂直的判定，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神。◆教学目标【知识与能力目标】（）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用。【过程与方法目标】（）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。【情感态度价值观目标】通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于现实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。【教学重点】平面与平面垂直判定。【教学难点】平面与平面垂直判定和求二面角。◆课前准备◆多媒体课件。◆教学过程（一）导入新课为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角。
修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度。为此，我们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角。（二）推进新课、新知探究、提出问题①二面角的有关概念、画法及表示方法。②二面角的平面角的概念。③两个平面垂直的定义。④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明。⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里？讨论结果：①二面角的有关概念。二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图（教师和学生共同动手）。直立式：平卧式：()()图二面角的表示方法：如图中，棱为，面为α、β的二面角，记作二面角αβ。有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点、，将这个二面角记作二面角。图如果棱为，则这个二面角记作αβ或。②二面角的平面角的概念。如图，在二面角αβ的棱上任取点，以为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线和，则射线和组成∠。图再取棱上另一点′，在α和β内分别作的垂线′′和′′，则它们组成角∠′′′。因为∥′′，∥′′，所以∠及∠′′′的两边分别平行且方向相同，即∠∠′′′。从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关。
由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。图中的∠，∠′′′都是二面角αβ的平面角。③直二面角的定义。二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的。两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角。两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直。直二面角的画法：如图。图④两个平面垂直的判定定理。如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。两个平面垂直的判定定理符号表述为：α⊥β。两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图。图证明如下：已知⊥β，∩β，α。求证：α⊥β。分析：要证α⊥β，需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角。证明：设α∩β，则由α，知、共面。∵⊥β，β，∴⊥，垂足为点。在平面β内过点作直线⊥，则∠是二面角αβ的平面角。又⊥，即二面角αβ是直二面角，∴α⊥β。
⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线，即要证面面垂直转化为证线线垂直。（三）应用示例例如图，⊙在平面α内，是⊙的直径，⊥α，为圆周上不同于、的任意一点。图求证：平面⊥平面。证明：设⊙所在平面为α，由已知条件，⊥α，α，∴⊥。∵为圆周上不同于、的任意一点，是⊙的直径，∴⊥。又∵与是△所在平面内的两条相交直线，∴⊥平面。∵平面，∴平面⊥平面。（四）课堂训练、在空间中，下列命题正确的是()()平行直线的平行投影重合()平行于同一直线的两个平面平行()垂直于同一平面的两个平面平行()垂直于同一平面的两条直线平行【解析】选。对于，平行直线的平行投影也可以是两条平行线；对于，平行于同一直线的两个平面可平行也可相交；对于，垂直于同一平面的两个平面可平行也可相交；正确。、如图（见课本），正方形中，，分别是，的中点，是的中点，现在沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后记为，则四面体中必有()。()⊥△所在平面()⊥△所在平面()⊥△所在平面()⊥△所在平面、四棱锥的底面为矩形，⊥底面，，为的中点，求证：平面⊥平面。
（七）课堂小结知识总结：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等。思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题。（八）作业课本习题组、、。◆教学反思略。
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