高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2平面与平面垂直的判定 课件1

平面与平面垂直的判定 问题提出1.二面角与二面角的平面角分别是什么含义？二面角的平面角有哪几个基本特征？(1)顶点在棱上；(2)边在两个面内；(3)边垂直于棱. 2.直线与直线，直线与平面可以垂直，平面与平面是否存在垂直关系？如何认识两个平面垂直？我们从理论上作些探讨. 知识探究(一)：两个平面垂直的概念思考1:空间两条直线垂直是怎样定义的？直线与平面垂直是怎样定义的？思考2:什么叫直二面角？如果两个相交平面所成的四个二面角中，有一个是直二面角，那么其他三个二面角的大小如何？ 思考3:如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直.在你的周围或空间几何体中，有哪些实例反映出两个平面垂直？ 思考4:在图形上，符号上怎样表示两个平面互相垂直？αβαβ αβ思考5:如果平面α⊥平面β，那么平面α内的任一条直线都与平面β垂直吗？ 知识探究(二)：两个平面垂直的判定思考1:根据定义判断两个平面是否垂直需要解决什么问题？思考2:如图，∠AOB为直二面角Α-l-β的平面角，那么直线AO与平面α的位置关系如何？αβABOl 思考3：在二面角α-l-β中，直线m在平面β内，如果m⊥α，那么二面角α-l-β是直二面角吗？αβmla 思考4:根据上述分析，可以得到两个平面互相垂直的判定定理，用文字语言如何表述这个定理？如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 思考5:结合图形，两个平面垂直的判定定理用符号语言怎样表述？αβl 思考6:过一点P可以作多少个平面与平面α垂直？过一条直线l可以作多少个平面与平面α垂直？αPlαl 理论迁移例1如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.PABCO 分析：要证明平面PAC垂直于平面PBC，直线证明平面PBC内的直线BC，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可． 证明：连接AC∵AB是圆O的直径∴∠ACB=90°即BC⊥AC又∵PA⊥平面α，且BC在平面α内∴PA⊥BC因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线∴BC⊥平面PAC∴△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直．点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题． 例2如图，在四棱锥AB1中，AB1D1C平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)若PA=，求证：平面PBC⊥平面PDC (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC． (2)证明：过B作BM∥AC交DA延长线与M，连接PM，∠PBM或其补角为PB与AC所成角，∵BM∥AC，AM∥BC，∴四边形MACB是平行四边形，∴BM=AC=，PB=PM=，∴cos∠PBM=． (3)证明：作BH⊥PC，连接HD，∵PA⊥平面ABCD，∴PB=PD，∵CD=CB，PC=PC，∴△PBC≌△PDC，∵BH⊥PC，∴HD⊥PC，∴∠BHD为二面角的平面角，∵AP=，PB=，PC=，BC=2，∴BH=，cos∠BHD=0，∴面PBC⊥面PDC． 1、线面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内任何一条直线都垂直，我们就说这条直线与这个平面相互垂直.2、线面垂直的判定定理:如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线就垂直于这个平面.小结注意：要判断一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线与已知直线是否有公共点，无关紧要. 作业:P73习题2.3A组：3，6.P74习题2.3B组：1.