2.3.2平面与平面垂直的判定教学设计安阳市第三十六中学王璐7
2.3.2平面与平面垂直的判定的教学设计普通高中课程标准实验教科书数学2必修人民教育出版社A版一、教材地位和作用新课程中立体几何的内容更加注重定义、定理的产生和联系，从而形成完整的知识结构体系。而平面与平面的垂直是两个平面的一种重要的位置关系，是继教材直线与直线的垂直、直线与平面的垂直之后的迁移与拓展。因此这一节的学习对理顺学生的知识架构体系、提高学生的綜合能力起着十分重要的作用。二、教学目标1、知识目标（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念。（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。2、能力目标（1）借助对图片、实例的观察、类比、抽象、概括二面角的概念，面面垂直的定义，渗透类比迁移的思想。（2）通过直观感知、操作确认，归纳出二面角平面角的定义，平面与平面垂直的判定定理，提高学生的抽象概括能力。（3）通过运用定理的过程，培养学生降低空间维数的化归与转化的数学思想。3、情感目标（1）让学生亲身经历数学研究的全过程，体验探索的乐趣。（2）通过有趣的、贴近学生生活的数学活动，使学生体会数学存在于现实生活周围，从中激发学生积极思维，增强学习数学的兴趣。三、教学重点、难点重点：（1）二面角及其平面角概念的形成过程；（2）面面垂直的判定定理的运用。难点：二面角的平面角的形成过程及寻找方法。四、学法与教学用具学法：实物观察，直观感知，操作确认，类比归纳，语言表达。教学用具：二面角模型，折叠纸，多媒体软硬件设备等。7
五、教学基本流程(总体设计)从人类生产实践的需要引入二面角的有关概念↓构建二面角的的平面角概念↓探究平面与平面垂直的判定方法↓平面与平面垂直的判定定理的应用↓课堂检测↓课堂小结↓布置作业六、教学情境设计（一）创设情景问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：直线与直线相交成一定的角，直线与平面也相交成一定的角，那么平面与平面相交是否也成一定角？下面我们共同来观察,研探。（二）建构理论1、二面角的引入和构建通过多媒体请同学们观察图片，发射人造卫星时要根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度；修筑水坝时为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度；建造房屋时墙面，地面，屋顶也会成一定的角度。问题3：这样的角有何特点呢？设计意图：从实际背景出发，增加学生对二面角的感性认识.让学生感受生活中处处有数学,数学用途广泛,增强学数学的兴趣.问题4:类比初中所学角的概念，能否归纳出二面角的概念？从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.教师通过折叠一张纸给学生演示二面角设计意图：概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，对已有知识的类比模仿7
,设置学生的最近思维发展区，不将书中的定义生硬地教给学生，而是通过自制模具的演示，采用类比的思想将二面角的概念移植过来。问题5：能否举出实际生活中一些二面角的例子？问题6：如何表示二面角？设计意图：让学生在此基础上再举一些二面角角的例子.如教室的门在打开的过程中与墙面成一定的角度；书本翻开的过程中，两张纸面呈一定的角度等.以知识填空的形式呈现，使学生了解二面角的数学符号表述。2、二面角的度量问题1：我们常说“把门开得大些”，是指哪个角大些，我们应该怎样刻画二面角的大小？（回想:异面直线所成的角、直线和平面所成的角有什么共同的特征？）引导学生动手操作------翻开教科书成二面角形状,观察书页底部边沿所成的平面角随着翻动幅度的改变(二面角)而改变的情况。引导学生进分析书页底部边沿所成的平面角的特点：①平面角的顶点在棱上；②平面角的两边分别在二面角的两个平面内；③两边分别垂直于棱。问题2：如果平面角的两边不垂直于棱行吗？设计意图：引导学生用“平面化”的思想来思考问题.捕捉创造适宜于学生领悟的问题情境，让学生动手操作，直观感受数学活动形象而生动的特点，生成知识。问题3:根据平面角的特点与作法,你能归纳出二面角的平面角的概念吗?在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。BAOβα问题4:对于确定的二面角而言,满足上述特点的平面角有多少个?请在二面角模型上任意作两个平面角,平面角的大小与顶点在棱上的位置有无关系?归纳:①二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关。②二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。③二面角的取值范围为[0°,180°]④平面角是直角的二面角叫做直二面角。设计意图：提高学生数学表达、归纳能力。让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深化。7
C1D1A1DCB1例1：在正方体中(1)求二面角的大小(2)求二面角的大小思维方法：BA（1）找出或作出二面角的平面角（2）证明其符合定义（垂直于棱）（3）计算设计意图:通过例1加强学生对二面角的平面角的理解并归纳出求二面角的方法。3、探究平面与平面垂直的判定定理问题1：教室的相邻两面墙与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及度数？问题2：类比线线垂直的定义，如何用二面角的平面角的大小给面面垂直下一个定义？引导学生归纳面面垂直的定义。两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直.设计意图：采用类比迁移的思想归纳面面垂直的定义，提高学生的抽象概括能力和知识迁移能力。问题3：在工程建设中，建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直，即若紧贴墙面的铅锤的线，如垂直地面，则确定墙面与地面垂直，否则不垂直。紧贴墙面的线？这句话的实质意义是什么？（学生讨论，期望回答：即此线在墙所在平面）由此实际问题如何抽象为数学问题呢？（学生交流讨论，期望回答：若平面过另一平面的垂线，则平面垂直）引导学生，画出图形。并转化成数学符号语言归纳生成两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．设计意图：教师站在稍稍超前于学生智力发展的边界上通过问题引领，来促成学生形成面面垂直的判定定理。通过学生交流讨论，把实际问题抽象成数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达方式。问题4：演示开门、关门的过程：门与地面始终垂直吗？为什么？将课本打开，直立放在桌面上，每页纸张与桌面是否垂直？为什么？（用判定定理解释）问题5：判定面面垂直的本质和关键是什么？设计意图：用判定定理解释生活中的常见现象，让学生意识到数学来源于生活，服务于生活，也体现了从特殊到一般再到特殊的知识认知过程。7
促进学生数学思想方法的形成，引导学生确实掌握"降维"的转化与化归的数学思想方法。4、平面与平面垂直的判定定理的应用例2:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，PA⊥α，BC在α内，所以，PA⊥BC，因为，点C是不同于A，B的任意一点，AB为⊙O的直径，所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条相交直线，所以，BC⊥平面PAC，又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC⊥平面PBC。设计意图：通过例2加强学生对面面垂直的判定定理的理解，从而进一步体会垂直关系的相互转化。虽然多媒体的使用方便快捷，但不能完全代替板书，因此教师一定要对证明过程进行规范、完整的板书，引导学生注意证明过程的规范性和严谨性，帮助学生养成良好的学习习惯。（三）检测反馈检测一：1、正方体中，平面与正方体的各个面所成二面角的大小分别是多少？（学生自己根据题意画图）2、正方体中，在图中作出二面角的平面角。检测二:1、如图所示，已知ABC(1)四个面的形状怎样？(2)有哪些直线与平面垂直？(3)有哪些平面互相垂直？D2、如图，正方体，求证7
设计意图：检验学生的学习目标达成情况。（四）回顾反思学生通过总结自己的收获和存在的问题，教师提炼深化内容，让学生从中体会到数学学习中的合作探究精神和实践能力。七、作业分层设计基础题：课本P73习题2.3 A组3,4.拓展题:课本P69例3在四面体PABC中任意两个平面所成的二面角的平面角如何确定？八、板书设计平面与平面垂直的判定一、二面角四、定理内容六、例题二、二面角的平面角例1：三、面面垂直的定义五、定理证明例2：九、教学反思本节课的学习采用问题驱动的课堂结构模式，从概念产生的背景到概念的建立，辨析，再到概念的应用，层层深入，最后完成评价检测。这样教学符合感知，辨认，概括，定义，应用的学习模式。7
微信/支付宝扫码支付