高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2平面与平面垂直的判定 学案

青海师范大学附属第二中学高中数学2.3.2平面与平面垂直的判定学案新人教A版必修2[学习要求]1．理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；2．掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角；3．掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直．[学法指导]通过实例直观感知“两个平面互相垂直”、“二面角”概念的形成过程；类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理，提高分析、解决问题的能力.1．二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做.叫做二面角的面．2.二面角的平面角如图：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的叫做二面角的平面角．3．平面与平面的垂直(1)定义：如果两个平面相交且它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直．即a⊥β，a⊂α⇒.[问题情境]在学习了异面直线所成的角、直线和平面所成的角后我们自然而然就提出：两个平面所成的角该怎么定义？如何衡量它的大小？为此，我们需要引入二面角的概念，研究两个平面所成的角．探究点一 二面角的概念问题1 平面几何中“角”是怎样定义的？ 问题2 在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？问题3 在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？问题4 如何用字母来记作二面角？问题5 二面角的大小反映了两个平面相交的位置关系，二面角的平面角是如何定义的？那我们应如何度量二面角的大小呢？探究点二 两个平面垂直的概念问题1 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出是哪些二面角？这些二面角各是多少度？问题2 如何定义两个平面互相垂直？问题3 如何画两个相互垂直的平面？平面α与平面β垂直，记作什么？探究点三 两个平面垂直的判定问题1 判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有其它的判定定理吗？问题2 如何用符号语言表达面面垂直的判定定理？例1 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.例2 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点． (1)求点C到平面A1ABB1的距离；(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值．[达标检测]1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是(  )A．平行B．可能重合C．相交且垂直D．相交不垂直2．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是(  )A．①③B．②④C．③④D．①②3．下列命题中正确的是(  )A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β4．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？[小结]1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 2．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．2.3.2 平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面(  )A．有且只有一个B．有无数个C．一个或无数个D．可能不存在2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是(  )A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面经过另一个平面的一条垂线C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线D．平面α内的直线a与平面β内的直线b垂直3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是(  )①若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.A．①②B．①③C．②③D．①②③4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是(  )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．6．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．第6题图第7题图7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.8.如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小． 二、能力提升9．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B－AC－D的余弦值为(  )A.B.C.D.10．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的(  )A．BC∥面PDFB．DF⊥面PAEC．面PDF⊥面ABCD．面PAE⊥面ABC11．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．三、探究与拓展13．如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，PA＝PB＝PC＝，AC＝2，AB＝，BC＝.(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)求二面角P—AB—C的正切值．跟踪训练1 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥ BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥面ACD；(2)面EFC⊥面BCD.跟踪训练2 如图，平面角为锐角的二面角α—EF—β，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角α—EF—β的平面角．