高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判定 课件

2．3.2 平面与平面垂直的判定 1．平面与平面垂直的定义．2．平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线和平面垂直、平面和平面垂直．3．掌握二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小． 1．当开启房门时，为什么房门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？2．当我们在使用笔记本电脑时，为了便于操作，需要将显示屏打开一定的角度．这样我们就会得到两个平面，如何来刻画两个平面之间的这种张角呢？当显示屏打开后角度又会怎样变化呢？ 1．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面． 2．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做．这条直线叫做二面角的棱，如图(1)中的AB，(2)中的l；这两个半平面叫做二面角的，如图中的α、β.二面角面 3．以二面角棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作的两条射线，则这两条射线所成的角，叫做．4．二面角的大小，可以用来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．垂直于棱二面角的平面角它的平面角 5．直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角．6．一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面．7．两个互相垂直的平面通常画成下图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的垂直．平面α与β垂直，记作.互相垂直横边α⊥β 8．定理：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直．这个定理说明，可以由证明平面与平面垂直．垂线直线与平面垂直 探究1：刀刃可近似地看作二面角，要使刀锋利，则二面角的平面角应满足怎样的条件？提示：其平面角应尽量小． 探究2：如图，检查工件的相邻两个平面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工作的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，这是为什么？ 提示：当它们十分密合之时，就说明这两个平面所成的二面角的平面角为90°，所以这两个平面互相垂直. 【错解】∵平面PAD⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.又∵BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.【错因分析】上述解法的错误在于误用两个平面垂直的性质定理为：两个平面互相垂直，则一个平面内的直线垂直于另一个平面．没有抓住面面垂直的性质定理的一个关键条件——直线必须与交线垂直． 易错补练 如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1为长方体，且底面ABCD为正方形，试问：截面ACB1与对角面BD1垂直吗？ 解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵BB1⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.又∵BD∩BB1＝B，故AC⊥对角面BD1.已知AC在截面ACB1内，∴截面ACB1⊥对角面BD1. 1．平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为：线面垂直，则面面垂直．因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决． 2．判定平面与平面垂直的方法：定义法和定理法．3．两个平面垂直需要用“二面角”的概念，学习二面角要注意：(1)二面角的大小是用平面角来度量的；(2)二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置惟一确定的，与选择棱上的点的位置无关；(3)平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直． 4．异面直线所成的角、斜线与平面所成的角、二面角统称为空间角，其求解方法相同，步骤是：第一步，作出它们的平面角；第二步，证明所作的角满足定义；第三步，将作出的角放在三角形中，计算出平面角的大小，又简称为“一作二证三计算”． 1．自二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有条件(  )A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l且AO⊂α，BO⊂β 解析：由二面角的平面角的定义可知选D.答案：D 2．Rt△ABC在平面α内的射影是△A1B1C1，设直角边AB∥α，则△A1B1C的形状为(  )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上三种情况都有可能 解析：设∠B为直角，由条件知AB∥α，由线面平行的性质知AB∥A1B1，又BC∠AB，∴BC⊥A1B1.又知BB1⊥α，∴BB1⊥A1B1.∴A1B1⊥面BB1C.∴A1B1⊥B1C.∴△A1B1C为直角三角形．答案：A 3．如图，过矩形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，图中互相垂直的平面有(  )A．2对B．3对C．4对D．5对 解析：∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAD，∴平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.又DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB.又DA⊂平面PAD，∴平面PAB⊥平面PAD.又∵BC⊥AB，BC⊥PA，∴BC⊥平面PAB.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB. 同理，平面PDC⊥平面PAD.∴共有2＋1＋1＋1＝5对．答案：D 4．将锐角A为60°，边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角，则点A与点C之间的距离为________． 5．如图所示，将矩形ABCD沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．求证：平面A1BC⊥平面A1BD. 证明：连接A1O.如图，∵A1在平面BCD上的射影O在CD上，∴A1O⊥平面BCD.又BC⊂平面BCD，∴BC⊥A1O.又BC⊥CD，A1O∩CD＝O.∴BC⊥平面A1CD.∴BC⊥A1D. 又A1D⊥A1B，A1B∩BC＝B，∴A1D⊥平面A1BC.∵A1D⊂平面A1BD，∴平面A1BC⊥平面A1BD.