高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2平面与平面垂直的判定 习题课

2．3.2平面与平面垂直的判定1．已知直线a∥平面α，a⊥平面β，则()AA．α⊥βC．α与β不垂直B．α∥βD．以上都有可能2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图1)．图中互相垂直的平面有()图1A．1对B．2对C．3对D．5对解析：面PAD⊥面AC，面PAB⊥面AC，面PAB⊥面PBC，面PDC⊥面PAD，面PAD⊥面PAB.D A3．若a⊥α，a∥b，b⊂β，那么平面α与平面β的关系是()A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交但不垂直D．无法确定 4．已知O是△ABC的外心，P是平面ABC外的一点，且PA＝PB＝PC，α是经过PO的任意一个平面，则()AA．α⊥平面ABCB．α与平面ABC不垂直C．α与平面ABC可能垂直也可能不垂直D．以上都不对解析：由O是△ABC的外心，PA＝PB＝PC可得，PO⊥平面ABC，∴α⊥平面ABC. 重点二面角的概念及面面垂直的判定1．二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．记作二面角α－AB－β(简记为P－AB－Q)．2．二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α，β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的范围：0°≤θ≤180°. 3．面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．记作α⊥β.4．面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直(线面垂直→面面垂直)．难点求二面角的平面角要求二面角的平面角，关键是根据图形自身特点找出二面角的平面角，主要方法有：定义法，垂面法，三垂线定理法．步骤为作，证，求． 面面垂直的判定例1：如图2，P是△ABC所在平面外一点，AP、AB、AC两两垂直．求证：平面PAC⊥平面PAB.图2 证法一(定义法)：∵AB⊥AP，AC⊥AP，∴∠BAC是二面角B－PA－C的平面角．∴平面PAC⊥平面PAB.证法二(定理法)：∵AB⊥PA，AB⊥AC，AB∩AC＝A，∴AB⊥平面PAC.又∵AB⊂平面PAB，∴平面PAC⊥平面PAB. 1－1.已知直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()DA．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α 面ABD与平面BCD所成的二面角的大小．图3 解：∵AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴BD⊥AC，又BD⊥CD，AC∩CD＝C，∴BD⊥平面ACD.∵AD⊂平面ACD，∴AD⊥BD.∠ADC是平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角． 2－1.下列说法正确的是()DA．二面角的大小范围是大于0°且小于90°B．一个二面角的平面角可以不相等C．二面角的平面角的顶点可以不在棱上D．二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直 A解析：∠BDC为二面角B－AD－C的平面角，设正三角形＝60°.()A．60°B．90°C．45°D．120°2－2.在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面 图4例3：如图4，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M、N分别是AB、PC的中点，求证：(1)MN∥平面PAD；(2)平面PMC⊥平面PDC.面面垂直的综合应用证明：(1)取PD的中点Q，连接AQ、QN，∴四边形AMNQ是平行四边形，∴MN∥AQ. 又∵AQ⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴∠PAD＝90°.∵PA＝AD，∴△PAD为等腰直角三角形．∵Q为PD中点，∴AQ⊥PD.∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AQ，∴AQ⊥平面PDC.由(1)MN∥AQ，∴MN⊥平面PDC.又∵MN⊂平面PMC，∴平面PMC⊥平面PDC.在证明线面平行时，利用中位线的性质证明线线平行，从而得出线面平行，是立体几何中常用的证明方法． 3－1.如图5，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N、E分别是AB、PC、CD的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)当MN⊥平面PCD时，求二面角P—CD—B的大小．图5 (1)证明：取PD的中点Q，连接AQ、QN.∵N为PC的中点，∴四边形AMNQ为平行四边形，∴MN∥AQ.又∵AQ⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD.(2)解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，∴PD⊥CD.∴∠PDA为二面角P－DC－B的平面角．∵MN⊥平面PCD，MN∥AQ， ∴AQ⊥平面PDC，∴AQ⊥PD.∵Q为PD的中点，∴△PAD为等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，即二面角P－CD－B的大小为45°.错因剖析：考虑不全面，作图可知有两种情况．()A．45°B．60°C．120°D．60°或120°例4：在直二面角α－AB－β棱AB上取一点P，过P分别在α、β平面内作与棱成45°角的斜线PC、PD，则∠CPD的大小是正解：D 4－1.下列命题中，假命题的个数为()B①与三角形两边平行的平面平行于这个三角形的第三边；②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边；③与三角形三顶点等距离的平面平行于这个三角形所在平面．A．0B．1C．2D．3解析：③是假命题，如果三个顶点不在平面的同侧，则该平面与三角形所在的平面相交．